ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Решение прямоугольного треугольника

Задача 27357. Решение прямоугольного треугольника

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 11.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла5.1.1 Треугольник

В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH  — высота, AH = 27, тангенс A = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби . Найдите BH.

В подтеме 50 задач
Разбор
Главная идея: Высота из прямого угла создаёт треугольники, подобные исходному, благодаря чему угол при вершине высоты равен углу исходного треугольника, что позволяет выразить неизвестные отрезки через тангенс.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CH из вершины C на гипотенузу AB.

Шаг 1: Найдём соотношение между высотой и отрезками гипотенузы.

Высота из прямого угла создаёт два меньших треугольника, подобных исходному. Треугольник BHC подобен треугольнику BCA (оба содержат угол B и прямой угол). Это означает, что ∠HCB=∠CAB=∠A\angle HCB = \angle CAB = \angle A.

Шаг 2: Применим тангенс угла A в треугольнике BHC.

В треугольнике BHC угол CHB равен 90°, поэтому: tan⁡(∠HCB)=BHCH\tan(\angle HCB) = \frac{BH}{CH}

Поскольку ∠HCB=∠A\angle HCB = \angle A, то: tan⁡A=BHCH\tan A = \frac{BH}{CH}

Отсюда: BH=CH⋅tan⁡ABH = CH \cdot \tan A

Шаг 3: Найдём CH через треугольник AHC.

В треугольнике AHC (угол AHC = 90°): tan⁡A=CHAH\tan A = \frac{CH}{AH}

Следовательно: CH=AH⋅tan⁡A=27⋅23=18CH = AH \cdot \tan A = 27 \cdot \frac{2}{3} = 18

Шаг 4: Вычислим BH.

BH=CH⋅tan⁡A=18⋅23=12BH = CH \cdot \tan A = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12

Альтернативно: BH=AH⋅tan⁡2A=27⋅(23)2=27⋅49=12BH = AH \cdot \tan^2 A = 27 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 27 \cdot \frac{4}{9} = 12

Типичные ошибки

  • Путаница в обозначении углов: забыть, что ∠HCB = ∠A, а не какой-то другой угол треугольника.
  • Неправильное применение тангенса: написать tan A = BH/AH вместо CH/AH в треугольнике AHC.
  • Арифметическая ошибка: неверно вычислить 27 · (2/3)² или забыть промежуточный результат CH = 18.

Ещё задачи этой подтемы