ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Решение прямоугольного треугольника

Задача 27280. Решение прямоугольного треугольника

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 11.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла5.1.1 Треугольник

В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH − высота, AC = 3, косинус A = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби . Найдите BH.

В подтеме 50 задач
Разбор
Главная идея: Высота в прямоугольном треугольнике создаёт подобные треугольники, где угол при вершине гипотенузы равен исходному острому углу; используя это соответствие углов и произведение тригонометрических функций, выражаем искомый отрезок через катет и функции известного угла.

Сначала найдём острый угол AA в треугольнике. Дано cos⁡A=16\cos A = \frac{1}{6}.

Из основного тригонометрического тождества: sin⁡2A=1−cos⁡2A=1−136=3536\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}

Следовательно, sin⁡A=356\sin A = \frac{\sqrt{35}}{6} (угол острый).

По определению синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике ABCABC: BC=AC⋅tg⁡A=AC⋅sin⁡Acos⁡A=3⋅35/61/6=335BC = AC \cdot \tg A = AC \cdot \frac{\sin A}{\cos A} = 3 \cdot \frac{\sqrt{35}/6}{1/6} = 3\sqrt{35}

Теперь рассмотрим треугольник BCHBCH, который прямоугольный (так как CHCH — высота, то ∠CHB=90°\angle CHB = 90°). Углы AA и ∠HCB\angle HCB равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами: одна пара сторон перпендикулярна (AC⊥CHAC \perp CH), другая перпендикулярна (AB⊥BHAB \perp BH в смысле угла AA).

В треугольнике BCHBCH: BH=BC⋅sin⁡(∠HCB)=BC⋅sin⁡ABH = BC \cdot \sin(\angle HCB) = BC \cdot \sin A

Подставляем: BH=335⋅356=3⋅356=1056=17,5BH = 3\sqrt{35} \cdot \frac{\sqrt{35}}{6} = 3 \cdot \frac{35}{6} = \frac{105}{6} = 17,5

Типичные ошибки

  • Ошибка в формуле взаимного расположения углов: угол ∠HCB\angle HCB не всегда явно равен ∠A\angle A без проверки расположения высоты.
  • Путаница при расчёте tg⁡A\tg A: неправильное использование sin⁡A\sin A и cos⁡A\cos A или ошибка в подстановке значений.
  • Арифметическая ошибка при умножении дробей или неправильное упрощение 335⋅3563\sqrt{35} \cdot \frac{\sqrt{35}}{6}.

Ещё задачи этой подтемы