Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Решение прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С известны $BC = 3$ и $\sin A = \frac{1}{6}$.

Найдём $\cos A$ через основное тригонометрическое тождество: $$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$$ $$\cos A = \frac{\sqrt{35}}{6}$$

Из прямоугольного треугольника АВС выразим $AC$ через катет $BC$ и угол $A$: $$\tan A = \frac{BC}{AC}$$ $$AC = \frac{BC}{\tan A} = \frac{BC \cos A}{\sin A}$$

В прямоугольном треугольнике АСН (где угол АНС = 90°, так как СН — высота) угол А остаётся тем же. Проекция катета $AC$ на гипотенузу $AB$ равна: $$AH = AC \cos A$$

Подставим выражение для $AC$: $$AH = \frac{BC \cos A}{\sin A} \cdot \cos A = \frac{BC \cos^2 A}{\sin A}$$

Используем $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$: $$AH = \frac{BC(1 - \sin^2 A)}{\sin A} = \frac{3 \cdot (1 - \frac{1}{36})}{\frac{1}{6}} = \frac{3 \cdot \frac{35}{36}}{\frac{1}{6}}$$

$$AH = 3 \cdot \frac{35}{36} \cdot 6 = \frac{630}{36} = 17,5$$