ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Решение прямоугольного треугольника

Задача 27431. Решение прямоугольного треугольника

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 11.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла5.1.1 Треугольник

В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH − высота, BH = 12, синус A = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби . Найдите AB.

В подтеме 50 задач
Разбор
Главная идея: Ключ — заметить равенство углов A и HCB через перпендикулярность сторон, затем дважды применить определение синуса в двух прямоугольных треугольниках.

Шаг 1. Найдём угол HCB.

В прямоугольном треугольнике ABC угол C = 90°. Высота CH проведена из прямого угла к гипотенузе AB.

Прямые AC и HB перпендикулярны к одной и той же прямой CH (в точках C и H соответственно). Это означает, что углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны. Поэтому ∠HCB=∠A\angle HCB = \angle A.

Шаг 2. Найдём CB из треугольника CHB.

В треугольнике CHB угол H = 90° (так как CH — высота). Применим определение синуса: sin⁡(∠HCB)=HBCB\sin(\angle HCB) = \frac{HB}{CB}

Поскольку ∠HCB=∠A\angle HCB = \angle A: sin⁡(∠A)=HBCB\sin(\angle A) = \frac{HB}{CB}

CB=HBsin⁡(∠A)=1223=12⋅32=18CB = \frac{HB}{\sin(\angle A)} = \frac{12}{\frac{2}{3}} = 12 \cdot \frac{3}{2} = 18

Шаг 3. Найдём AB из треугольника ABC.

В прямоугольном треугольнике ABC: sin⁡(∠A)=CBAB\sin(\angle A) = \frac{CB}{AB}

AB=CBsin⁡(∠A)=1823=18⋅32=27AB = \frac{CB}{\sin(\angle A)} = \frac{18}{\frac{2}{3}} = 18 \cdot \frac{3}{2} = 27

Типичные ошибки

  • Забыть, что углы A и HCB равны, и неправильно составить тригонометрическое отношение в треугольнике CHB
  • Ошибиться при вычислении деления на дробь: забыть перевернуть делитель
  • Спутать, какой катет противолежит углу A в исходном треугольнике ABC

Ещё задачи этой подтемы