ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Решение прямоугольного треугольника

Задача 27272. Решение прямоугольного треугольника

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 11.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла5.1.1 Треугольник

В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН  — высота, BC = 5, косинус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби . Найдите ВН.

В подтеме 50 задач
Разбор
Главная идея: Ключ — заметить, что углы А и ∠HCB равны благодаря взаимной перпендикулярности сторон, а затем использовать синус этого угла в прямоугольном треугольнике ВСН для выражения ВН через известные величины.

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом при С проведена высота СН к гипотенузе АВ.

Шаг 1. Найдём синус угла А.

Используем основное тригонометрическое тождество: sin⁡2A+cos⁡2A=1\sin^2 A + \cos^2 A = 1

Подставим cos⁡A=725\cos A = \frac{7}{25}: sin⁡2A=1−(725)2=1−49625=576625\sin^2 A = 1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{576}{625}

Следовательно: sin⁡A=2425\sin A = \frac{24}{25}

Шаг 2. Определим угол ∠HCB.

В треугольнике АВС угол С равен 90°. Высота СН перпендикулярна АВ, а сторона ВС пересекает эту высоту. Углы А и ∠HCB — это углы со взаимно перпендикулярными сторонами (АВ ⊥ СН и АС ⊥ ВС), поэтому они равны: ∠HCB=∠A\angle HCB = \angle A

Шаг 3. Найдём ВН через треугольник ВСН.

В прямоугольном треугольнике ВСН (где угол Н прямой) применим синус угла ∠HCB: sin⁡(∠HCB)=BHBC\sin(\angle HCB) = \frac{BH}{BC}

Поскольку ∠HCB=∠A\angle HCB = \angle A: BH=BC⋅sin⁡A=5⋅2425=12025=4,8BH = BC \cdot \sin A = 5 \cdot \frac{24}{25} = \frac{120}{25} = 4,8

Типичные ошибки

  • Забывают найти синус угла А через основное тригонометрическое тождество и пытаются применять формулы без предварительного вычисления.
  • Путают углы: неправильно определяют, какой угол в треугольнике ВСН соответствует углу А исходного треугольника.
  • Ошибаются в вычислении: неверно извлекают корень из 576/625 (должно быть 24/25, а не другое значение).

Ещё задачи этой подтемы