ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Решение прямоугольного треугольника

Задача 27790. Решение прямоугольного треугольника

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 11.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла5.1.1 Треугольник

В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH  — высота, угол A равен 30°, AB  =  2. Найдите AH.

В подтеме 50 задач
Разбор
Главная идея: Когда высота опущена из прямого угла на гипотенузу, отрезок гипотенузы равен произведению гипотенузы на квадрат косинуса прилежащего острого угла, или произведению прилежащего катета на косинус этого же угла.

  1. Найдём AC через гипотенузу AB и угол A. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при C: AC=AB⋅cos⁡A=2⋅cos⁡30°=2⋅32=3AC = AB \cdot \cos A = 2 \cdot \cos 30° = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}

  2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Высота CH опускается из прямого угла на гипотенузу AB, поэтому треугольник ACH — прямоугольный с прямым углом при H. Угол CAH остаётся тем же, что и в исходном треугольнике, то есть равен 30°.

  3. Найдём AH из треугольника ACH. AH=AC⋅cos⁡A=3⋅cos⁡30°=3⋅32=32=1,5AH = AC \cdot \cos A = \sqrt{3} \cdot \cos 30° = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} = 1,5

Альтернативный способ (через формулу проекции): Проекция катета AC на гипотенузу AB равна: AH=AB⋅cos⁡2A=2⋅cos⁡230°=2⋅(32)2=2⋅34=1,5AH = AB \cdot \cos^2 A = 2 \cdot \cos^2 30° = 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 2 \cdot \frac{3}{4} = 1,5

Типичные ошибки

  • Забыли, что CH — именно высота на гипотенузу, и применили формулу для обычного катета вместо проекции
  • Вычислили cos⁡30°\cos 30° неправильно или ошиблись при возведении в квадрат дроби 32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • Перепутали, какой катет проектируется: взяли BC вместо AC и получили ответ через sin⁡A\sin A

Ещё задачи этой подтемы