ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Решение прямоугольного треугольника

Задача 27265. Решение прямоугольного треугольника

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 11.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла5.1.1 Треугольник

В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH  — высота, AB  =  13, тангенс A = дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби . Найдите AH.

В подтеме 50 задач
Разбор
Главная идея: Высота из прямого угла выражается через гипотенузу и косинус прилежащего угла по формуле AH=AB⋅cos⁡2AAH = AB \cdot \cos^2 A, которая получается из связи cos⁡2A=11+tan⁡2A\cos^2 A = \frac{1}{1 + \tan^2 A}.

Шаг 1. Найдём косинус угла A через тангенс.

Дано tan⁡A=15\tan A = \frac{1}{5}. Используем основное тригонометрическое тождество: 1+tan⁡2A=1cos⁡2A1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A}

Подставляем: 1+125=2625=1cos⁡2A1 + \frac{1}{25} = \frac{26}{25} = \frac{1}{\cos^2 A}

Отсюда: cos⁡2A=2526\cos^2 A = \frac{25}{26}

Шаг 2. Найдём AC.

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°): AC=AB⋅cos⁡AAC = AB \cdot \cos A

Шаг 3. Найдём AH.

Высота CH, проведённая из прямого угла, создаёт подобный треугольник ACH. В нём угол A остаётся тем же, поэтому: AH=AC⋅cos⁡A=(AB⋅cos⁡A)⋅cos⁡A=AB⋅cos⁡2AAH = AC \cdot \cos A = (AB \cdot \cos A) \cdot \cos A = AB \cdot \cos^2 A

Подставляем найденное значение: AH=13⋅2526=32526=12,5AH = 13 \cdot \frac{25}{26} = \frac{325}{26} = 12,5

Типичные ошибки

  • Спутать формулу: часто пишут AH=AB⋅cos⁡AAH = AB \cdot \cos A вместо AB⋅cos⁡2AAB \cdot \cos^2 A, забывая второе применение косинуса в подобном треугольнике ACH.
  • Ошибка при вычислении 1+tan⁡2A1 + \tan^2 A: неправильно сложить 1+1251 + \frac{1}{25}, получив, например, 2625\frac{26}{25} вместо преобразования в 1cos⁡2A\frac{1}{\cos^2 A}.
  • Неверное упрощение дроби 32526\frac{325}{26}: забыть, что 325=26×12,5325 = 26 \times 12,5, или ошибиться в делении.

Ещё задачи этой подтемы