Задача 27266. Решение прямоугольного треугольника

Обозначим $\tan A = 5$. Из этого найдём $\sin A$ и $\cos A$.

Используем основное тригонометрическое тождество. Если $\tan A = 5$, то: $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$ $$\tan^2 A + 1 = \frac{1}{\cos^2 A}$$ $$25 + 1 = \frac{1}{\cos^2 A}$$ $$\cos^2 A = \frac{1}{26}$$

Тогда $\sin^2 A = 1 - \frac{1}{26} = \frac{25}{26}$, поэтому $\sin A = \frac{5}{\sqrt{26}}$.

Это означает $BC = AB \cdot \sin A = 13 \cdot \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{65}{\sqrt{26}}$.

Теперь найдём угол $\angle HCB$. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из прямого угла, создаёт два подобных исходному треугольника. Угол $\angle HCB$ равен углу $A$ (они дополняют друг друга до 90° с одинаковыми углами).

В треугольнике $HBC$ угол $H$ прямой, поэтому: $$BH = BC \cdot \sin(\angle HCB) = BC \cdot \sin A$$ $$BH = \frac{65}{\sqrt{26}} \cdot \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{325}{26} = 12,5$$

Альтернативно: $BH = AB \sin^2 A = 13 \cdot \frac{25}{26} = 12,5$.