Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Решение прямоугольного треугольника

Обозначим вершину прямого угла как $C$, остальные вершины — $A$ и $B$. Из вершины $C$ проведены высота $CH$ (к гипотенузе $AB$) и биссектриса $CD$ (делящая угол $ACB$ пополам). По условию угол между ними равен $21°$.

Шаг 1: Определим углы, которые образует биссектриса.

Поскольку угол $ACB = 90°$, а $CD$ — биссектриса, она делит его на два равных угла: $$\angle ACD = \angle BCD = 45°$$

Шаг 2: Используем условие о расстоянии между высотой и биссектрисой.

Угол между высотой и биссектрисой равен $21°$. Это означает: $$\angle DCH = 21°$$

Шаг 3: Найдём угол $\angle ACH$.

Высота $CH$ и биссектриса $CD$ расположены так, что: $$\angle ACH = \angle ACD + \angle DCH = 45° + 21° = 66°$$

Шаг 4: Найдём угол $A$ из треугольника $ACH$.

В треугольнике $ACH$ угол при $H$ равен $90°$ (так как $CH$ — высота, перпендикулярна $AB$). Сумма углов треугольника: $$\angle A + \angle ACH + 90° = 180°$$ $$\angle A = 180° - 90° - 66° = 24°$$

Шаг 5: Найдём второй острый угол.

Второй острый угол: $$\angle B = 90° - \angle A = 90° - 24° = 66°$$

Меньший угол треугольника — это $\angle A = 24°$.