ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Решение прямоугольного треугольника

Задача 27789. Решение прямоугольного треугольника

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 11.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла5.1.1 Треугольник

В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол A равен 30°, AB = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента . Найдите высоту CH.

В подтеме 50 задач
Разбор
Главная идея: Высота к гипотенузе в прямоугольном треугольнике находится либо через площадь, либо как произведение катета на синус противолежащего угла.

Шаг 1. Найдём сторону AC.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C сторона AC — это катет, прилежащий к углу A. Используем косинус: AC=AB⋅cos⁡A=23⋅cos⁡30°=23⋅32=3AC = AB \cdot \cos A = 2\sqrt{3} \cdot \cos 30° = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3

Шаг 2. Найдём сторону BC.

Сторона BC — катет, противолежащий углу A: BC=AB⋅sin⁡A=23⋅sin⁡30°=23⋅12=3BC = AB \cdot \sin A = 2\sqrt{3} \cdot \sin 30° = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}

Шаг 3. Найдём высоту CH.

Высота, опущенная на гипотенузу из прямого угла, может быть найдена через площадь треугольника двумя способами: S=12⋅AC⋅BC=12⋅AB⋅CHS = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH

Отсюда: CH=AC⋅BCAB=3⋅323=32=1,5CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{2} = 1,5

Альтернативно, используя формулу CH=AC⋅sin⁡ACH = AC \cdot \sin A: CH=3⋅sin⁡30°=3⋅12=1,5CH = 3 \cdot \sin 30° = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1,5

Типичные ошибки

  • Забыли найти AC через косинус перед вычислением высоты
  • Перепутали катет BC с катетом AC при подстановке в формулу высоты
  • Неправильно подставили значения синуса и косинуса углов 30° (забыли, что sin 30° = 1/2, а не √3/2)

Ещё задачи этой подтемы