Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Решение прямоугольного треугольника

Шаг 1. Найдём высоту CH.

В прямоугольном треугольнике $BCH$ (угол $H$ прямой, так как $CH$ — высота) применим теорему Пифагора: $$CH^2 + BH^2 = BC^2$$ $$CH^2 + 4^2 = (4\sqrt{5})^2$$ $$CH^2 + 16 = 80$$ $$CH^2 = 64$$ $$CH = 8$$

Шаг 2. Определим связь углов $A$ и $\angle HCB$.

Углы $A$ и $\angle HCB$ равны, так как обе пары их сторон взаимно перпендикулярны: $AB \perp BC$ и $CH \perp AB$ (это вытекает из свойств прямоугольного треугольника и высоты, проведённой из прямого угла).

Шаг 3. Найдём тангенс угла $A$.

Поскольку $\angle A = \angle HCB$, имеем: $$\tan A = \tan(\angle HCB) = \frac{HB}{CH} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0,5$$

В треугольнике $BCH$ сторона $HB$ противолежит углу $\angle HCB$, а $CH$ — прилежащая к нему сторона, поэтому тангенс равен их отношению.