ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Решение прямоугольного треугольника

Задача 27339. Решение прямоугольного треугольника

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 11.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла5.1.1 Треугольник

В треугольнике ABC угол C равен 90°, высота CH равна 20, BC  =  25. Найдите синус A.

В подтеме 50 задач
Разбор
Главная идея: Через высоту находим отрезки гипотенузы (или сразу используем равенство углов AA и BCHBCH), после чего sin⁡A=BCAB=CHAC=0,6\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{CH}{AC}=0{,}6.

Шаг 1. Найдём BH. В прямоугольном треугольнике CHBCHB (угол H=90∘H=90^\circ) по теореме Пифагора: BH=BC2−CH2=252−202=625−400=225=15.BH=\sqrt{BC^2-CH^2}=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{625-400}=\sqrt{225}=15.

Шаг 2. Найдём AH. Высота из прямого угла — среднее геометрическое отрезков гипотенузы: CH2=AH⋅BHCH^2=AH\cdot BH, значит AH=CH2BH=40015=803.AH=\frac{CH^2}{BH}=\frac{400}{15}=\frac{80}{3}.

Шаг 3. Гипотенуза. AB=AH+HB=803+15=1253AB=AH+HB=\frac{80}{3}+15=\frac{125}{3}.

Шаг 4. Синус угла A — это отношение противолежащего катета BCBC к гипотенузе ABAB: sin⁡A=BCAB=251253=75125=0,6.\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{25}{\frac{125}{3}}=\frac{75}{125}=0{,}6.

(Проверка: из треугольника ACHACH: AC=AH2+CH2=64009+400=1003AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{\frac{6400}{9}+400}=\frac{100}{3}, тогда sin⁡A=CHAC=20100/3=0,6\sin A=\frac{CH}{AC}=\frac{20}{100/3}=0{,}6.)

Типичные ошибки

  • Считают sin⁡A=CHBC\sin A=\frac{CH}{BC}, путая, в каком треугольнике лежит угол AA.
  • Забывают, что CH2=AH⋅BHCH^2=AH\cdot BH, и пытаются взять AH=BHAH=BH.
  • Арифметика: неверно извлекают корень 625−400\sqrt{625-400} или делят 400/15400/15.

Ещё задачи этой подтемы