ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Решение прямоугольного треугольника

Задача 27432. Решение прямоугольного треугольника

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 11.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла5.1.1 Треугольник

В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH  — высота, AH = 12, косинус A = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби . Найдите AB.

В подтеме 50 задач
Разбор
Главная идея: В прямоугольном треугольнике высота из прямого угла к гипотенузе связана с катетами и углами через соотношение AH=AC⋅cos⁡AAH = AC \cdot \cos A; это позволяет найти катет, а затем гипотенузу через её определение.

Шаг 1. Найдём катет AC через известный косинус угла A.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C: cos⁡A=ACAB\cos A = \frac{AC}{AB}

Нам известно cos⁡A=23\cos A = \frac{2}{3}, поэтому: AC=AB⋅cos⁡A=AB⋅23AC = AB \cdot \cos A = AB \cdot \frac{2}{3}

Шаг 2. Применим свойство высоты в прямоугольном треугольнике.

Высота CH, опущенная из прямого угла на гипотенузу, создаёт подобные треугольники. Для отрезка гипотенузы AH справедлива формула: AH=AC⋅cos⁡AAH = AC \cdot \cos A

Это следует из подобия треугольников ABC и CAH: углы A совпадают, углы при C и H прямые. Подставим известные значения: 12=AC⋅2312 = AC \cdot \frac{2}{3} AC=18AC = 18

Шаг 3. Найдём гипотенузу AB.

Используем определение косинуса угла A: cos⁡A=ACAB\cos A = \frac{AC}{AB} 23=18AB\frac{2}{3} = \frac{18}{AB} AB=18⋅32=27AB = \frac{18 \cdot 3}{2} = 27

Проверка: AH=AC⋅cos⁡A=18⋅23=12AH = AC \cdot \cos A = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12 ✓

Типичные ошибки

  • Забыли, что в треугольнике CHB угол HCB равен углу A, и попытались применить формулу неправильно
  • Спутали формулу: написали AH=AB⋅cos⁡AAH = AB \cdot \cos A вместо AH=AC⋅cos⁡AAH = AC \cdot \cos A
  • Не заметили, что косинус угла A — это отношение AC к AB, и вычислили AB неправильно

Ещё задачи этой подтемы