Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Решение прямоугольного треугольника

Из условия: $\angle C = 90°$, $BC = 8$, $\cos A = 0,5$.

Сначала найдём угол $A$. Поскольку $\cos A = 0,5$, то $\angle A = 60°$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ сумма острых углов равна $90°$: $$\angle B = 90° - 60° = 30°$$

Точка $H$ — это основание высоты, проведённой из прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$.

Рассмотрим треугольник $HCB$. Он также прямоугольный (угол $CHB = 90°$ по определению высоты). В этом треугольнике:

• $\angle HBC = \angle B = 30°$ (это один и тот же угол)
• $\angle BCH = 90° - 30° = 60°$

Заметим, что $\angle BCH = 60° = \angle A$. Это происходит потому, что углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны: сторона $CA$ перпендикулярна $CH$ (так как $\angle ACH$ дополняет $\angle BCH$ до прямого), а сторона $AB$ перпендикулярна $BC$ в смысле образования острого угла.

В прямоугольном треугольнике $HCB$ применим косинус угла $HCB$: $$CH = BC \cdot \cos(\angle HCB) = BC \cdot \cos A = 8 \cdot 0,5 = 4$$