ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Решение прямоугольного треугольника

Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Решение прямоугольного треугольника

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 11.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла5.1.1 Треугольник

В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH  — высота, BC  =  25, BH  =  20. Найдите косинус A.

В подтеме 50 задач
Разбор
Главная идея: Высота из прямого угла создаёт треугольник, в котором косинус нужного угла легко выражается через известные стороны; углы A и HCB равны по свойству углов со взаимно перпендикулярными сторонами.

Шаг 1. Найдём высоту CH.

В прямоугольном треугольнике BCH (угол H прямой, так как CH — высота) по теореме Пифагора: CH2+BH2=BC2CH^2 + BH^2 = BC^2 CH2+202=252CH^2 + 20^2 = 25^2 CH2=625−400=225CH^2 = 625 - 400 = 225 CH=15CH = 15

Шаг 2. Установим связь между углом A и углом HCB.

Угол A исходного треугольника ABC и угол HCB в треугольнике BCH равны. Это можно доказать через то, что стороны этих углов взаимно перпендикулярны: сторона AB перпендикулярна CH, сторона AC перпендикулярна BH (так как BH лежит на BC).

Шаг 3. Найдём косинус через треугольник BCH.

В прямоугольном треугольнике BCH: cos⁡(∠HCB)=CHBC=1525=35=0,6\cos(\angle HCB) = \frac{CH}{BC} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0{,}6

Поскольку ∠A=∠HCB\angle A = \angle HCB, то: cos⁡A=0,6\cos A = 0{,}6

Типичные ошибки

  • Забыть найти CH через Пифагор и попытаться использовать только BC и BH
  • Спутать, какой именно угол в треугольнике BCH равен углу A, и вычислить косинус соседнего угла
  • Не заметить, что CH — катет в треугольнике BCH, и ошибиться в выборе числителя и знаменателя дроби
Непонятно?

Похожие задачи