Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Решение прямоугольного треугольника

Обозначим прямоугольный треугольник как ABC, где C — вершина прямого угла, A и B — острые углы, равные 24° и 66° соответственно.

Шаг 1: Медиана из прямого угла

Медиана CM проведена из вершины C к гипотенузе AB (точка M — середина AB). По свойству прямоугольного треугольника медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы: $CM = AM = BM = \frac{AB}{2}$.

Шаг 2: Равнобедренный треугольник ACM

Поскольку $CM = AM$, треугольник ACM равнобедренный. Значит, углы при основании AC равны: $\angle MCA = \angle A = 24°$.

Шаг 3: Биссектриса из прямого угла

Биссектриса CD делит прямой угол пополам: $\angle ACD = \angle BCD = 45°$.

Шаг 4: Угол между биссектрисой и медианой

Ищем угол MCD между биссектрисой CD и медианой CM. Он равен разности: $$\angle MCD = \angle ACD - \angle ACM = 45° - 24° = 21°$$

Угол MCD — это искомый угол между биссектрисой и медианой.