Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Решение прямоугольного треугольника

Обозначим $\cos A = \frac{\sqrt{35}}{6}$. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C найдём AH, где H — основание высоты из C на гипотенузу AB.

Шаг 1. Найдём $\sin A$.

Используем основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$ $$\sin^2 A = 1 - \frac{35}{36} = \frac{1}{36}$$ $$\sin A = \frac{1}{6}$$

Шаг 2. Найдём AC через BC и тангенс угла A.

В треугольнике ABC: $$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{\sin A}{\cos A}$$ $$AC = \frac{BC}{\tan A} = \frac{BC \cdot \cos A}{\sin A} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{35}}{6}}{\frac{1}{6}} = 3\sqrt{35}$$

Шаг 3. Используем свойство высоты в прямоугольном треугольнике.

Высота CH, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, делит её на отрезки, связанные с катетами формулой: $$AC^2 = AH \cdot AB$$

Сначала найдём AB по теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(3\sqrt{35})^2 + 3^2} = \sqrt{315 + 9} = \sqrt{324} = 18$$

Шаг 4. Вычислим AH.

$$AH = \frac{AC^2}{AB} = \frac{(3\sqrt{35})^2}{18} = \frac{9 \cdot 35}{18} = \frac{315}{18} = 17,5$$