Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Решение прямоугольного треугольника

Обозначим меньший катет как $x$, тогда больший катет равен $x + 2$.

Для прямоугольного треугольника площадь вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$, где $a$ и $b$ — катеты.

Подставляем известные значения: $$\frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 2) = 24$$

Умножаем обе части на 2: $$x(x + 2) = 48$$

Раскрываем скобки: $$x^2 + 2x = 48$$

Переносим все в левую часть: $$x^2 + 2x - 48 = 0$$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант или разложение. Найдём два числа, произведение которых равно $-48$, а сумма равна $2$: это $8$ и $-6$.

Тогда $(x + 8)(x - 6) = 0$, откуда $x = -8$ или $x = 6$.

Поскольку $x$ — длина катета, она не может быть отрицательной. Следовательно, $x = 6$.