Касательная, хорда, секущая — задание 1 ЕГЭ профиль по планиметрии

О чём эта подтема

В задании 1 профильного ЕГЭ по математике часто встречаются задачи на окружность, где заданы касательные, хорды или секущие, а найти нужно градусную меру угла или дуги. Такие задачи решаются без сложных вычислений — достаточно знать несколько ключевых фактов о взаимном расположении прямых и окружности и уметь применять свойства углов в треугольниках и четырёхугольниках.

Основная сложность не в математике, а в правильном построении вспомогательных отрезков: обычно нужно провести радиус в точку касания или заметить диаметр среди уже отмеченных точек. Как только вспомогательные линии проведены, задача сводится к простому счёту углов.

Эта подтема регулярно встречается на экзамене, а её решение занимает 2–3 минуты, если знать алгоритм. Поэтому важно один раз разобрать все базовые свойства и типовые схемы рассуждений.

Что нужно знать

1. Касательная и радиус. Если прямая касается окружности в точке $A$, а $O$ — центр окружности, то радиус $OA$, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $$OA \perp \ell, \quad \text{где } \ell \text{ — касательная в точке } A.$$ Это самый важный факт темы: он превращает задачу с касательной в задачу с прямым углом.

2. Отрезки касательных из одной точки. Если из внешней точки $C$ проведены две касательные к окружности, касающиеся её в точках $A$ и $B$, то:

• отрезки касательных равны: $CA = CB$;
• $CO$ (где $O$ — центр) является биссектрисой угла $ACB$ и одновременно осью симметрии всей конфигурации.

3. Центральный угол и дуга. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается: $$\angle AOB = \text{дуга } AB.$$ Это ключевая связка между углами треугольников (которые легко считать) и дугами (которые часто требуется найти в ответе).

4. Вписанный угол. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: $$\angle ACB = \frac{1}{2}\, \text{дуга } AB,$$ где вершина $C$ лежит на окружности, а дуга $AB$ — та, что не содержит точку $C$.

5. Угол между касательной и хордой. Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине дуги, заключённой внутри этого угла: $$\angle (\text{касательная}, \text{хорда}) = \frac{1}{2}\, \text{дуга, заключённая между ними}.$$

6. Сумма углов многоугольника. Часто конфигурация «две касательные + центр окружности» образует четырёхугольник (например, $OACB$, где $O$ — центр, $C$ — точка пересечения касательных, $A$, $B$ — точки касания). Сумма углов такого четырёхугольника равна $360^\circ$: $$\angle O + \angle A + \angle C + \angle B = 360^\circ.$$

7. Диаметр и смежные углы. Если секущая пересекает окружность в двух точках, а центр лежит на этой секущей, то отрезок между точками пересечения — диаметр. Углы, образованные радиусами по разные стороны от диаметра, — смежные, их сумма равна $180^\circ$: $$\angle AOB_1 + \angle AOB_2 = 180^\circ,$$ если $B_1$ и $B_2$ лежат на одной прямой через $O$.

8. Сумма углов треугольника. В любом треугольнике сумма углов равна $180^\circ$. Этот факт вместе с прямым углом «радиус–касательная» позволяет находить недостающий угол в треугольнике «центр–точка касания–внешняя точка».

Этого набора фактов достаточно для решения почти всех задач данной подтемы в задании 1.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задач на касательные, хорды и секущие можно свести к четырём шагам.

Шаг 1. Найти касательную и провести радиус в точку касания. Если в условии есть касательная, сразу отмечаем: угол между радиусом и касательной равен $90^\circ$. Это почти всегда первый шаг, потому что превращает неизвестную конфигурацию в треугольник или четырёхугольник с известным прямым углом.

Шаг 2. Выделить фигуру, где известны углы. Если есть треугольник вида «центр – точка касания – внешняя точка», используем сумму углов треугольника $180^\circ$. Если есть четырёхугольник вида «центр – точка касания – внешняя точка – точка касания», используем сумму углов $360^\circ$.

Шаг 3. Проверить, есть ли диаметр или смежные углы. Если секущая проходит через центр или в условии сказано, что две точки пересечения секущей с окружностью лежат по разные стороны центра на одной прямой, то соответствующие центральные углы — смежные, и их сумма равна $180^\circ$. Это часто нужно, чтобы перейти от «удобного» угла к тому, который спрашивают в задаче.

Шаг 4. Перевести искомый угол в дугу (или наоборот). Помним: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. Если в задаче фигурирует вписанный угол или угол между касательной и хордой — используем формулу «половина дуги».

При решении полезно всегда рисовать (или мысленно представлять) итоговый четырёхугольник или треугольник и подписывать на нём все известные и искомые углы — это резко снижает вероятность ошибки в знаках и направлениях углов.

Разбор примера

Пример 1.

Условие: касательные $CA$ и $CB$ к окружности образуют угол $\angle ACB = 122^\circ$. Найдите величину меньшей дуги $AB$, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

Шаг 1. Отмечаем прямые углы. Проведём радиусы $OA$ и $OB$ в точки касания. По свойству касательной: $$\angle OAC = 90^\circ, \qquad \angle OBC = 90^\circ.$$

Шаг 2. Рассматриваем четырёхугольник $OACB$. В этом четырёхугольнике известны три угла: $\angle OAC = 90^\circ$, $\angle OBC = 90^\circ$, $\angle ACB = 122^\circ$. Сумма всех углов четырёхугольника равна $360^\circ$, поэтому: $$\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 122^\circ = 58^\circ.$$

Шаг 3. Переходим от угла к дуге. Центральный угол $\angle AOB$ равен градусной мере дуги $AB$, на которую он опирается: $$\text{дуга } AB = \angle AOB = 58^\circ.$$

Поскольку эта дуга меньше $180^\circ$, она и есть искомая меньшая дуга.

Ответ: 58.

Пример 2.

Условие: угол $\angle ACO = 24^\circ$, сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O$, сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D$. Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри угла $\angle ACO$. Ответ дайте в градусах.

Шаг 1. Радиус в точку касания. $CA$ — касательная, $OA$ — радиус, проведённый в точку касания $A$, значит: $$\angle OAC = 90^\circ.$$

Шаг 2. Находим угол $AOC$. Рассмотрим треугольник $AOC$. Сумма его углов равна $180^\circ$, поэтому: $$\angle AOC = 180^\circ - \angle OAC - \angle ACO = 180^\circ - 90^\circ - 24^\circ = 66^\circ.$$

Шаг 3. Переходим к углу $AOD$. По условию сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D$, значит $B$, $O$, $D$ лежат на одной прямой (отрезок $BD$ проходит через центр, то есть является диаметром). Тогда углы $\angle AOC$ и $\angle AOD$ — смежные (лежат по разные стороны от прямой $BD$ и в сумме образуют развёрнутый угол): $$\angle AOD = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 66^\circ = 114^\circ.$$

Шаг 4. Дуга. Центральный угол $\angle AOD$ равен градусной мере дуги $AD$, на которую он опирается. Именно эта дуга лежит внутри угла $\angle ACO$ (между касательной $CA$ и секущей $CO$), поэтому: $$\text{дуга } AD = 114^\circ.$$

Ответ: 114.

Оба примера показывают одну и ту же логику: сначала фиксируем прямой угол между радиусом и касательной, затем считаем углы в треугольнике или четырёхугольнике, а при необходимости используем смежность углов, если через центр проходит диаметр.

Типичные ошибки

Забывают про перпендикулярность радиуса и касательной. Без этого факта задача не сдвигается с места — именно он даёт первый известный угол в конструкции.

Путают дугу и угол. Дуга и центральный угол численно равны, но это разные объекты: дуга — часть окружности, угол — часть плоскости. При переходе от вписанного угла к дуге забывают удвоить (или, наоборот, при переходе от дуги к вписанному углу забывают разделить на два).

Берут не ту дугу. У двух точек на окружности всегда две дуги — большая и меньшая (или две дуги, если специально не уточнено, какая нужна). Нужно внимательно смотреть на формулировку: «меньшая дуга», «дуга внутри угла», «дуга, не содержащая точку $C$» — от этого зависит, брать угол или его дополнение до $360^\circ$.

Неверно определяют смежные углы. Смежность углов $\angle AOC$ и $\angle AOD$ возникает только тогда, когда точки $C$, $O$, $D$ (или $B$, $O$, $D$) действительно лежат на одной прямой, то есть отрезок — диаметр. Если это не так, применять формулу «сумма смежных углов равна $180^\circ$» нельзя.

Ошибаются в сумме углов многоугольника. Для четырёхугольника сумма углов $360^\circ$, а не $180^\circ$, как у треугольника. Путаница между этими значениями — частая причина неверного ответа.

Не проверяют, какая точка внешняя, а какая на окружности. Формула вписанного угла (половина дуги) работает только тогда, когда вершина угла лежит на самой окружности. Если вершина находится вне окружности (например, точка пересечения двух секущих), нужна другая формула — полуразность дуг, а не половина одной дуги.

На что обратить внимание на экзамене

Перед тем как считать, обязательно постройте (хотя бы мысленно) вспомогательный радиус в каждую точку касания — без этого шага почти невозможно продвинуться в решении. Проверьте, есть ли в условии диаметр: фраза «секущая пересекает окружность в двух точках» и упоминание, что одна из этих точек и центр лежат на одной прямой с другой точкой, — сигнал к использованию смежных углов.

Внимательно читайте, какую именно дугу или угол просят найти: «внутри угла», «меньшая дуга», «не содержащая точку». Одна и та же конфигурация может давать два разных числовых ответа в зависимости от выбранной дуги, поэтому эта деталь часто и является ловушкой в задании.

Проверяйте арифметику суммы углов: для треугольника — $180^\circ$, для четырёхугольника — $360^\circ$. Ошибка на этом шаге сразу даёт неверный числовой ответ при в целом правильной логике решения.

Если задача решается через вписанный угол, убедитесь, что вершина угла действительно лежит на окружности, а не совпадает с центром или внешней точкой — иначе формула «половина дуги» неприменима и нужен другой подход.

Наконец, полезно в конце решения быстро прикинуть правдоподобность ответа: угол между двумя касательными из внешней точки почти всегда достаточно большой (обычно больше $90^\circ$ для «острых» конфигураций окружности небольшого радиуса), а дуга между точками касания при этом получается небольшой — это может служить быстрой проверкой, не допущена ли ошибка в знаке при вычитании из $360^\circ$ или $180^\circ$.