ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Касательная, хорда, секущая

Задача 27880. Касательная, хорда, секущая

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15.1.4 Окружность и круг5.5.1 Величина угла, градусная мера угла

Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 122°. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

В подтеме 11 задач
Разбор
Главная идея: Радиус перпендикулярен касательной, поэтому центральный угол = 180° − угол между касательными, а он равен меньшей дуге.

Радиусы OAOA и OBOB перпендикулярны касательным в точках касания, значит ∠OAC=∠OBC=90∘\angle OAC=\angle OBC=90^\circ.

В четырёхугольнике OACBOACB сумма углов равна 360∘360^\circ: ∠AOB=360∘−90∘−90∘−122∘=58∘.\angle AOB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-122^\circ=58^\circ.

Центральный угол AOBAOB равен градусной мере дуги ABAB, на которую он опирается, поэтому меньшая дуга ABAB равна 58∘58^\circ.

Типичные ошибки

  • Берут большую дугу: 360∘−58∘=302∘360^\circ-58^\circ=302^\circ.
  • Считают дугу равной вписанному углу и делят/умножают на 2.
  • Забывают, что углы при точках касания прямые, и неверно ищут сумму углов четырёхугольника.

Ещё задачи этой подтемы