ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Касательная, хорда, секущая

Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Касательная, хорда, секущая

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Теорема косинусовТеорема синусов

Найдите хорду, на которую опирается угол 120°, вписанный в окружность радиуса  корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .

В подтеме 11 задач
Разбор
Главная идея: Вписанный угол и противолежащая ему хорда связаны через теорему синусов: длина хорды равна 2Rsin⁡α2R\sin\alpha, где α\alpha — вписанный угол, RR — радиус окружности.

Обозначим вписанный угол как ∠ABC=120°\angle ABC = 120°, где вершина угла BB лежит на окружности, а стороны угла пересекают окружность в точках AA и CC. Хорда ACAC — это отрезок, на который опирается данный угол.

Для нахождения длины хорды применим теорему синусов. В треугольнике ABCABC сторона, лежащая напротив угла BB, связана с радиусом окружности формулой:

AC=2Rsin⁡∠ABCAC = 2R \sin \angle ABC

Подставим известные значения: R=3R = \sqrt{3} и ∠ABC=120°\angle ABC = 120°.

AC=2⋅3⋅sin⁡120°AC = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sin 120°

Знаем, что sin⁡120°=sin⁡(180°−60°)=sin⁡60°=32\sin 120° = \sin(180° - 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}.

AC=2⋅3⋅32=3⋅3=3AC = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3

Хорда равна 3.

Типичные ошибки

  • Перепутаны центральный и вписанный углы: если угол вписанный, используют формулу 2Rsin⁡α2R\sin\alpha, а не диаметр с углом 90°.
  • Ошибка в вычислении sin⁡120°\sin 120°: забыли, что sin⁡120°=sin⁡60°=32\sin 120° = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, а не 12\frac{1}{2}.
  • Неправильно применена теорема синусов: забыли множитель 2 перед RR в формуле связи хорды с радиусом.
Непонятно?

Похожие задачи