ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Касательная, хорда, секущая

Задача 27878. Касательная, хорда, секущая

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15.1.4 Окружность и круг5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника

Через концы А и В дуги окружности с центром О проведены касательные АС и ВС. Угол СAB равен 32°. Найдите угол AОB. Ответ дайте в градусах.

В подтеме 11 задач
Разбор
Главная идея: Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую стягивает хорда, поэтому центральный угол в два раза больше такого угла.

Шаг 1. Применим теорему об угле между касательной и хордой.

Угол САВ образован касательной АС и хордой АВ, проведённой из точки касания А. По теореме, такой угол равен половине дуги, которая заключена между касательной и хордой. То есть: ∠CAB=12⋅дуга AB\angle CAB = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AB

Шаг 2. Найдём дугу АВ.

Подставим известное значение угла: 32°=12⋅дуга AB32° = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AB дуга AB=64°\text{дуга } AB = 64°

Шаг 3. Найдём центральный угол АОВ.

Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается. Поскольку угол АОВ опирается на дугу АВ: ∠AOB=64°\angle AOB = 64°

Типичные ошибки

  • Забывают, что угол между касательной и хордой — это именно половина дуги, и путают с другими формулами для углов в окружности
  • Ошибочно полагают, что центральный угол равен углу САВ, забывая о коэффициенте 2
  • Неправильно определяют, какая дуга имеется в виду в теореме (нужна дуга между касательной и хордой, считаемая от точки касания)

Ещё задачи этой подтемы