ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Касательная, хорда, секущая

Задача 27884. Касательная, хорда, секущая

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15.1.4 Окружность и круг5.5.1 Величина угла, градусная мера угла

Угол ACO равен 24°. Его сторона CA касается окружности с центром в точке О. Сторона CO пересекает окружность в точках B и D (см. рис.). Найдите градусную меру дуги AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ
114ответ для бланка

Разбор

Главная идея: Радиус в точку касания перпендикулярен касательной, поэтому ∠AOC=90∘−24∘=66∘\angle AOC=90^\circ-24^\circ=66^\circ, а искомая дуга AD соответствует смежному центральному углу 180∘−66∘180^\circ-66^\circ.

Шаг 1. Радиус в точку касания. CA — касательная, OA — радиус, проведённый в точку касания, значит OA⊥CAOA \perp CA, то есть ∠OAC=90∘\angle OAC = 90^\circ.

Шаг 2. Находим угол AOC. В треугольнике AOCAOC сумма углов равна 180∘180^\circ: ∠AOC=180∘−90∘−24∘=66∘.\angle AOC = 180^\circ - 90^\circ - 24^\circ = 66^\circ.

Шаг 3. Переходим к углу AOD. Точки BB, OO, DD лежат на одной прямой (BD — диаметр), поэтому углы AOCAOC и AODAOD — смежные: ∠AOD=180∘−66∘=114∘.\angle AOD = 180^\circ - 66^\circ = 114^\circ.

Шаг 4. Дуга. Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается, значит дуга ADAD, лежащая внутри угла ACOACO (та, что между касательной и секущей), равна 114∘114^\circ.

Типичные ошибки

  • Берут дугу AB (66°) вместо дуги AD, забыв про смежный угол.
  • Забывают, что радиус перпендикулярен касательной, и считают угол AOC = 66° неверно (например, 90°−2·24°).
  • Путают центральный угол с вписанным и делят/умножают дугу на 2.

Ещё задачи этой подтемы