Трапеция в задании 1 ЕГЭ: формулы, свойства и разбор примеров

О чём эта подтема

Задание 1 по планиметрии на ЕГЭ профильного уровня часто содержит задачу про трапецию — чаще всего равнобедренную. Такие задачи проверяют, насколько уверенно вы владеете базовыми фактами о трапеции: формулой площади, связью между основаниями и боковой стороной, а также умением работать с прямоугольными треугольниками, которые образуются при опускании высот на большее основание.

Особенность этих задач в том, что почти все они решаются по одному и тому же шаблону: из данных находится высота трапеции, затем — проекция боковой стороны на основание, а дальше применяется теорема Пифагора или тригонометрия прямоугольного треугольника. Освоив этот алгоритм один раз, вы сможете решать практически любую задачу этого типа за 2–3 минуты.

Что нужно знать

Определение. Трапеция — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противоположных сторон параллельна (основания), а другая пара (боковые стороны) не параллельна.

Равнобедренная (равнобокая) трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны. Именно такие трапеции чаще всего встречаются в задании 1. Их ключевое свойство:

• углы при каждом основании равны между собой;
• диагонали равны;
• трапеция симметрична относительно перпендикуляра, проведённого через середины оснований.

Формула площади трапеции. Площадь равна произведению полусуммы оснований на высоту: $$S=\frac{a+b}{2}\cdot h,$$ где $a$ и $b$ — длины оснований, $h$ — высота (расстояние между основаниями).

Проекции боковых сторон на большее основание. Если из вершин меньшего основания опустить высоты на большее основание, то большее основание разобьётся на три части: две крайние (проекции боковых сторон) и среднюю, равную меньшему основанию. Для равнобедренной трапеции с основаниями $a$ (большее) и $b$ (меньшее) обе проекции равны между собой: $$\text{проекция}=\frac{a-b}{2}.$$

Это одно из самых важных наблюдений темы: именно оно позволяет свести задачу о трапеции к задаче о прямоугольном треугольнике.

Прямоугольный треугольник из боковой стороны. Боковая сторона $c$, высота $h$ и проекция $\frac{a-b}{2}$ образуют прямоугольный треугольник, где $c$ — гипотенуза: $$c^2=h^2+\left(\frac{a-b}{2}\right)^2.$$

Отсюда легко выражаются любые две из трёх величин через третью — это и есть основной рабочий инструмент.

Тригонометрия острого угла трапеции. Острый угол $\alpha$ при большем основании лежит в том же прямоугольном треугольнике. Тогда: $$\sin\alpha=\frac{h}{c},\qquad \cos\alpha=\frac{(a-b)/2}{c},\qquad \tan\alpha=\frac{h}{(a-b)/2}.$$

Эти соотношения нужны, если в задаче спрашивают не сторону или высоту, а угол или его синус/косинус/тангенс.

Средняя линия трапеции (иногда встречается в связке с другими темами): $$m=\frac{a+b}{2}.$$ Обратите внимание: это та же величина, что стоит в формуле площади, — средняя линия равна полусумме оснований.

Для задания 1 обычно достаточно перечисленных фактов. Более сложные свойства (описанная или вписанная окружность, диагонали как биссектрисы и т.п.) в этой конкретной подтеме почти не встречаются — их стоит изучать отдельно, если попадутся в задании 16.

Как решать: метод и алгоритм

Большинство задач про трапецию в задании 1 сводится к одной и той же геометрической конструкции: равнобедренная трапеция плюс высоты, опущенные на большее основание. Работайте по следующему алгоритму.

Шаг 1. Определите, что дано и что нужно найти. Обычно среди трёх величин — основания $a$, $b$, боковая сторона $c$, высота $h$, площадь $S$, угол $\alpha$ — известны две-три, а найти нужно одну.

Шаг 2. Если дана площадь, найдите высоту. Используйте формулу $$S=\frac{a+b}{2}\cdot h \Rightarrow h=\frac{2S}{a+b}.$$

Шаг 3. Найдите проекцию боковой стороны на большее основание. $$\text{проекция}=\frac{a-b}{2}$$ (где $a>b$, то есть $a$ — большее основание).

Шаг 4. Постройте прямоугольный треугольник с катетами $h$ и $\frac{a-b}{2}$ и гипотенузой $c$ (боковая сторона). Дальше применяйте:

• теорему Пифагора, если нужно найти сторону или высоту: $$c^2=h^2+\left(\frac{a-b}{2}\right)^2;$$
• определения синуса, косинуса, тангенса, если нужно найти угол или его тригонометрическую функцию.

Шаг 5. Проверьте ответ на здравый смысл. Боковая сторона должна быть больше высоты (гипотенуза больше катета), синус и косинус угла — числа от 0 до 1, а угол трапеции — от 0 до 180°.

Этот алгоритм работает в обе стороны: можно идти от площади к стороне, а можно от стороны и оснований — к высоте, площади или углу. Важно один раз чётко нарисовать чертёж с опущенными высотами, чтобы визуально видеть, где какой прямоугольный треугольник.

Разбор примера

Пример 1. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а её площадь равна 40. Найдите боковую сторону трапеции.

Шаг 1. Находим высоту. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: $$S=\frac{a+b}{2}\cdot h.$$ Подставляем данные: $$40=\frac{7+13}{2}\cdot h=10h \Rightarrow h=4.$$

Шаг 2. Находим проекцию боковой стороны на большее основание. Опустим из вершин меньшего основания высоты на большее основание $AD$. Поскольку трапеция равнобедренная, эти высоты отсекают от большего основания два равных отрезка по краям, а разность оснований делится между ними поровну: $$\frac{13-7}{2}=3.$$

Шаг 3. Находим боковую сторону. Боковая сторона — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $h=4$ и проекцией $3$: $$AB=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.$$

Ответ: $5$.

Пример 2. Основания равнобедренной трапеции равны 51 и 65. Боковые стороны равны 25. Найдите синус острого угла трапеции.

Шаг 1. Находим проекцию боковой стороны на большее основание. Большее основание равно 65, меньшее — 51, поэтому: $$\frac{65-51}{2}=\frac{14}{2}=7.$$

Шаг 2. Находим высоту трапеции. Боковая сторона $c=25$ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $h$ и $7$. По теореме Пифагора: $$h^2=c^2-7^2=25^2-7^2=625-49=576 \Rightarrow h=\sqrt{576}=24.$$

Шаг 3. Находим синус острого угла. Острый угол $\alpha$ трапеции лежит в том же прямоугольном треугольнике, где боковая сторона — гипотенуза, а высота — противолежащий катет: $$\sin\alpha=\frac{h}{c}=\frac{24}{25}=0{,}96.$$

Ответ: $0{,}96$.

Оба примера показывают одну и ту же логику: сначала находим недостающий элемент прямоугольного треугольника (высоту или проекцию), а затем применяем теорему Пифагора или определение тригонометрической функции. Разница лишь в том, что известно в условии — площадь (пример 1) или сразу боковая сторона (пример 2).

Типичные ошибки

Ошибка в определении проекции. Часто путают, какое основание брать за большее, и получают отрицательное или неверное значение разности. Всегда вычитайте меньшее основание из большего: $a-b$, где $a>b$.

Забывают делить разность оснований пополам. Разность $a-b$ — это сумма двух проекций (по краям большего основания), а не одна проекция. Нужно делить на 2: $$\text{проекция}=\frac{a-b}{2}.$$

Путают высоту и боковую сторону. Высота трапеции — это катет прямоугольного треугольника, а боковая сторона — гипотенуза. Высота всегда меньше боковой стороны (кроме случая прямоугольной трапеции, где они совпадают на одной из сторон).

Ошибка в формуле площади. Иногда забывают про деление на 2 или путают, что умножается на высоту — сумма оснований целиком или их полусумма. Правильно: $$S=\frac{a+b}{2}\cdot h,$$ а не $S=(a+b)\cdot h$.

Неверное применение тригонометрии. При нахождении синуса или косинуса угла важно правильно определить, какой катет прилежащий, а какой противолежащий относительно угла. Синус угла при основании — это отношение высоты (противолежащий катет) к боковой стороне (гипотенузе), а не наоборот.

Забывают, что трапеция равнобедренная. Свойство равенства проекций работает только для равнобедренной трапеции. Если в условии не сказано, что трапеция равнобедренная, использовать эту формулу нельзя — нужно применять другие методы (например, свойства средней линии или дополнительные данные из условия).

На что обратить внимание на экзамене

При чтении условия сразу выделяйте, какая трапеция дана — равнобедренная или произвольная, и какие величины известны: основания, боковая сторона, высота, площадь или угол. Сразу рисуйте чертёж с опущенными высотами на большее основание — это визуально показывает прямоугольный треугольник и упрощает дальнейшие вычисления.

Запоминайте формулу площади и формулу для проекции боковой стороны наизусть — это две опорные точки, от которых строится решение практически любой задачи на эту подтему. Если в задаче дана площадь и основания, первым шагом всегда находите высоту. Если даны основания и боковая сторона, сразу находите проекцию и переходите к теореме Пифагора или тригонометрии.

Проверяйте вычисления на разумность: полученная высота не должна быть больше боковой стороны, а синус и косинус угла должны быть числами от 0 до 1. Если получилось иначе — где-то ошибка в шаге с проекцией или в применении теоремы Пифагора.

На реальном экзамене такие задачи решаются за одну–две минуты, если алгоритм отработан заранее. Потренируйтесь на нескольких вариантах с разными комбинациями известных величин — оснований, площади, стороны, угла, — чтобы уверенно применять формулы в любом порядке.