ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Трапеция

Задача 27833. Трапеция

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15.1.3 Трапеция5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника

В равнобедренной трапеции большее основание равно 25, боковая сторона равна 10, угол между ними 60°. Найдите меньшее основание.

В подтеме 27 задач
Разбор
Главная идея: В равнобедренной трапеции боковые стороны одинаковы, поэтому проекции обеих боковых сторон на большее основание также одинаковы; меньшее основание равно разности большего основания и двух таких проекций.

Обозначим большее основание AD=25AD = 25, боковую сторону AB=10AB = 10, угол при основании ∠BAD=60°\angle BAD = 60°.

Проведём высоту BHBH из вершины BB на основание ADAD. Она перпендикулярна ADAD.

В прямоугольном треугольнике ABHABH:

  • гипотенуза AB=10AB = 10
  • угол при AA равен 60°60°
  • катет AH=AB⋅cos⁡60°=10⋅12=5AH = AB \cdot \cos 60° = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5

По свойству равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Значит, угол при DD также 60°60°. Если провести высоту из вершины CC на основание ADAD (обозначим точку как H′H'), то DH′=5DH' = 5 по тому же расчету.

Меньшее основание BCBC параллельно ADAD, поэтому: BC=AD−AH−DH′=25−5−5=15BC = AD - AH - DH' = 25 - 5 - 5 = 15

Альтернативно: BC=AD−2⋅AB⋅cos⁡(∠BAD)=25−2⋅10⋅cos⁡60°=25−20⋅12=15BC = AD - 2 \cdot AB \cdot \cos(\angle BAD) = 25 - 2 \cdot 10 \cdot \cos 60° = 25 - 20 \cdot \frac{1}{2} = 15.

Типичные ошибки

  • Забыли, что трапеция равнобедренная, и считали проекцию только с одной стороны
  • Перепутали формулу и использовали синус вместо косинуса при вычислении проекции боковой стороны
  • Не вычли проекции с обеих сторон и учли только одну проекцию вместо двух

Ещё задачи этой подтемы