ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Трапеция

Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Трапеция

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Теорема синусов1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла

Основания равнобедренной трапеции равны 51 и 65. Боковые стороны равны 25. Найдите синус острого угла трапеции.

В подтеме 27 задач
Разбор
Главная идея: Опустить высоту из вершины верхнего основания на нижнее, найти её через теорему Пифагора в образовавшемся прямоугольном треугольнике, затем вычислить синус острого угла как отношение высоты к боковой стороне.

Обозначим основания трапеции: BC=51BC = 51 (верхнее), AD=65AD = 65 (нижнее), боковые стороны AB=CD=25AB = CD = 25.

Опустим из вершины CC верхнего основания перпендикуляр CECE на нижнее основание ADAD. Это будет высота трапеции.

После опускания перпендикуляра точка EE лежит на ADAD, и в прямоугольном треугольнике CEDCED катет EDED можно найти так: из-за равнобедренности трапеции левый «выступ» равен правому. Разница оснований AD−BC=65−51=14AD - BC = 65 - 51 = 14 распределяется поровну слева и справа, поэтому ED=142=7ED = \frac{14}{2} = 7.

Теперь в прямоугольном треугольнике CEDCED известны гипотенуза CD=25CD = 25 и катет ED=7ED = 7. По теореме Пифагора найдём второй катет: CE=CD2−ED2=252−72=625−49=576=24CE = \sqrt{CD^2 - ED^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24

Острый угол трапеции — это ∠CDA\angle CDA (угол при нижнем основании). В прямоугольном треугольнике CEDCED синус этого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin⁡∠CDA=CECD=2425=0,96\sin \angle CDA = \frac{CE}{CD} = \frac{24}{25} = 0,96

Типичные ошибки

  • Забывают, что разница оснований распределяется поровну на обе стороны из-за равнобедренности, и считают EDED неправильно
  • Путают, какое число в числителе и знаменателе синуса, или берут косинус вместо синуса
  • Неправильно применяют теорему Пифагора или ошибаются в арифметике при вычислении 625−49\sqrt{625 - 49}
Непонятно?

Похожие задачи