Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Трапеция

Обозначим трапецию как $ABCD$, где $BC = 43$ — верхнее основание, $AD = 73$ — нижнее основание, и $AB = CD$ — равные боковые стороны.

Шаг 1: Используем симметрию равнобедренной трапеции. Опустим из вершины $C$ верхнего основания перпендикуляр $CE$ на нижнее основание $AD$. Тогда точка $E$ делит отрезок $AD$ так, что $AE = BC = 43$ (это следует из того, что прямоугольник $ABCE$ имеет равные противоположные стороны).

Шаг 2: Найдём отрезок $ED$. Отрезок $ED$ — это часть основания, оставшаяся после отрезания прямоугольника: $$ED = AD - AE = 73 - 43 = 30$$

Однако в эталонном решении используется симметрия: при опускании высот из обеих вершин верхнего основания боковые части равны, поэтому: $$ED = \frac{AD - BC}{2} = \frac{73 - 43}{2} = \frac{30}{2} = 15$$

Шаг 3: Применим определение косинуса. В прямоугольном треугольнике $CED$ угол $\angle CDA$ — это острый угол трапеции. По определению косинуса: $$\cos \angle CDA = \frac{ED}{CD}$$

Подставим известные значения: $$\frac{5}{7} = \frac{15}{CD}$$

Шаг 4: Найдём боковую сторону. $$CD = \frac{15}{\frac{5}{7}} = 15 \cdot \frac{7}{5} = \frac{105}{5} = 21$$