Задача 27442. Трапеция

Обозначим трапецию $ABCD$, где $AD = 51$ — большее основание, $BC = 7$ — меньшее основание. Проведём высоту $CE$ из вершины $C$ на основание $AD$, где $E$ — точка на $AD$.

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Опустив высоты из обеих вершин верхнего основания, мы получаем симметричную картину: если обозначить $AE' = ED = x$ (где $E'$ — проекция $B$ на $AD$), то $E'E = BC = 7$.

Поскольку $AE' + E'E + ED = AD$, имеем: $$x + 7 + x = 51$$ $$2x = 44$$ $$x = 22$$

Высота $CE$ является катетом прямоугольного треугольника $CED$, где:

• $ED = 22$ (проекция боковой стороны на основание)
• $\angle CDE$ — острый угол трапеции
• $\tan(\angle CDE) = \frac{5}{11}$

По определению тангенса в прямоугольном треугольнике: $$\tan(\angle CDE) = \frac{CE}{ED}$$

Подставляем известные значения: $$\frac{5}{11} = \frac{CE}{22}$$

$$CE = 22 \cdot \frac{5}{11} = 2 \cdot 5 = 10$$

Высота трапеции равна 10.