Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Трапеция

Обозначим большее основание $AD = 34$, боковые стороны $CD = AB = 14$ (трапеция равнобедренная), меньшее основание $BC$ — то, что ищем.

Опустим из вершин $B$ и $C$ перпендикуляры на $AD$. Они пересекают $AD$ в точках (обозначим одну из них $E$). В равнобедренной трапеции эти перпендикуляры имеют одинаковую длину и отсекают равные отрезки на большем основании.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $CD$, высотой и отрезком основания. Острый угол при основании обозначим $\angle CDA$.

Дано: $\sin \angle CDA = \frac{2\sqrt{10}}{7}$.

Найдём косинус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество: $$\cos^2 \angle CDA = 1 - \sin^2 \angle CDA = 1 - \frac{40}{49} = \frac{9}{49}$$

Поскольку угол острый: $\cos \angle CDA = \frac{3}{7}$.

Этот косинус — отношение прилежащего катета (отрезок, на который проецируется боковая сторона) к гипотенузе: $$ED = CD \cdot \cos \angle CDA = 14 \cdot \frac{3}{7} = 6$$

В равнобедренной трапеции оба боковых отрезка по 6, поэтому меньшее основание: $$BC = AD - 2 \cdot ED = 34 - 2 \cdot 6 = 34 - 12 = 22$$