Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Трапеция

Обозначим трапецию $ABCD$, где $BC$ — меньшее основание, $AD$ — большее основание. Проведём высоты из точек $B$ и $C$ на основание $AD$, получим точки $E$ и $F$ соответственно.

Высота трапеции равна 39, высоты образуют прямоугольник $BCFE$, поэтому $EF = BC = 23$.

Поскольку трапеция равнобедренная, боковые стороны равны: $AB = CD$. Это означает, что прямоугольные треугольники $ABE$ и $DCF$ равны, следовательно, $AE = DF$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDF$ (или $DCF$). Здесь:

• $CF$ — высота трапеции, равная 39
• $\angle CDF$ — острый угол трапеции
• $\tan \angle CDF = \frac{13}{8}$

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике: $$\tan \angle CDF = \frac{CF}{DF} = \frac{13}{8}$$

Подставим $CF = 39$: $$\frac{39}{DF} = \frac{13}{8}$$

Решаем уравнение: $$DF = \frac{39 \cdot 8}{13} = \frac{312}{13} = 24$$

По симметрии равнобедренной трапеции: $AE = DF = 24$.

Большее основание состоит из трёх частей: $$AD = AE + EF + FD = 24 + 23 + 24 = 71$$