Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Трапеция

Обозначим основания трапеции: $AD = 12$ (нижнее), $BC = 6$ (верхнее). Боковые стороны $AB = CD$ (трапеция равнобедренная).

Опустим из вершин $B$ и $C$ перпендикуляры на основание $AD$. Получим точки $H$ и $K$ соответственно. Высоты $BH$ и $CK$ перпендикулярны $AD$.

В равнобедренной трапеции боковые стороны и высоты создают два равных прямоугольных треугольника $ABH$ и $DCK$. Поэтому: $$AH = KD$$

Так как $BC \parallel AD$ и $BC = HK$, то: $$AH + HK + KD = AD$$ $$AH + BC + AH = AD$$ $$2 \cdot AH = AD - BC = 12 - 6 = 6$$ $$AH = 3$$

В прямоугольном треугольнике $ABH$ угол $\angle BAD$ — острый угол трапеции. Его синус равен 0,8. Найдём косинус через основное тождество: $$\cos^2 \angle BAD = 1 - \sin^2 \angle BAD = 1 - 0,64 = 0,36$$ $$\cos \angle BAD = 0,6$$

Теперь из треугольника $ABH$: $$\cos \angle BAD = \frac{AH}{AB}$$ $$0,6 = \frac{3}{AB}$$ $$AB = \frac{3}{0,6} = 5$$