Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Трапеция

Обозначим трапецию как $ABCD$, где $BC$ — меньшее основание, равное 4. Прямая, проведённая через точку $B$ параллельно боковой стороне $CD$, пересекает основание $AD$ в точке $E$.

Шаг 1. Четырёхугольник $EBCD$ — параллелограмм, так как $BE \parallel CD$ (по построению) и $BC \parallel ED$ (как части параллельных оснований трапеции). В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому: $$BE = CD \quad \text{и} \quad ED = BC = 4$$

Шаг 2. Периметр треугольника $ABE$ равен 15: $$P_{ABE} = AB + BE + AE = 15$$

Шаг 3. Выразим периметр трапеции через периметр треугольника: $$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$$

После подстановки $CD = BE$ и $AD = AE + ED$: $$P_{ABCD} = AB + BC + BE + (AE + ED)$$

Переупорядочиваем слагаемые: $$P_{ABCD} = (AB + BE + AE) + BC + ED$$

Подставляем $P_{ABE} = AB + BE + AE = 15$ и $ED = BC = 4$: $$P_{ABCD} = 15 + BC + 4 = 15 + 4 + 4 = 23$$