ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Трапеция

Задача 27835. Трапеция

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15.1.3 Трапеция5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника

Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.

В подтеме 27 задач

Разбор

Главная идея: Прямая, параллельная боковой стороне, отсекает от трапеции параллелограмм, что позволяет связать периметр треугольника с периметром трапеции через равенство противоположных сторон параллелограмма.

Обозначим трапецию как $ABCD$ , где $BC$ — меньшее основание, равное 4. Прямая, проведённая через точку $B$ параллельно боковой стороне $CD$ , пересекает основание $AD$ в точке $E$ .

Шаг 1. Четырёхугольник $EBCD$ — параллелограмм, так как $BE \parallel CD$ (по построению) и $BC \parallel ED$ (как части параллельных оснований трапеции). В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому: $BE = CD \quad \text{и} \quad ED = BC = 4$

Шаг 2. Периметр треугольника $ABE$ равен 15: $P_{ABE} = AB + BE + AE = 15$

Шаг 3. Выразим периметр трапеции через периметр треугольника: $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$

После подстановки $CD = BE$ и $AD = AE + ED$ : $P_{ABCD} = AB + BC + BE + (AE + ED)$

Переупорядочиваем слагаемые: $P_{ABCD} = (AB + BE + AE) + BC + ED$

Подставляем $P_{ABE} = AB + BE + AE = 15$ и $ED = BC = 4$ : $P_{ABCD} = 15 + BC + 4 = 15 + 4 + 4 = 23$

Типичные ошибки

Забыли, что в параллелограмме противоположные стороны равны, и неправильно выразили $CD$ и $ED$
Не заметили, что основание $AD$ разбивается на два отрезка $AE$ и $ED$ , и попытались работать с $AD$ как с целым
Ошиблись в арифметике при подстановке значений: написали $15 + 4$ , вместо $15 + 4 + 4$

Задача 27835. Трапеция

Типичные ошибки

Ещё задачи этой подтемы