Задача 27834. Трапеция

Обозначим трапецию как $ABCD$, где $AD = 27$ — большее основание, $BC = 12$ — меньшее основание, углы при основании равны $60°$.

Проведём высоту из вершины $B$ на основание $AD$, обозначим её основание как $H$. Так как трапеция равнобедренная, боковые стороны равны: $AB = CD$.

В прямоугольном треугольнике $ABH$ сторона $AH$ вычисляется по свойству равнобедренной трапеции: $$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{27 - 12}{2} = \frac{15}{2} = 7,5$$

Это следует из того, что высоты, опущенные из обеих верхних вершин, отсекают на нижнем основании равные отрезки слева и справа, а между ними лежит верхнее основание.

В треугольнике $ABH$ угол при основании $\angle BAH = 60°$. Используя косинус: $$\cos 60° = \frac{AH}{AB}$$ $$\frac{1}{2} = \frac{7,5}{AB}$$ $$AB = 15$$

Периметр трапеции: $$P = AD + BC + 2AB = 27 + 12 + 2 \cdot 15 = 39 + 30 = 69$$