Задача 27844. Трапеция

Обозначим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD > BC$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей, которые перпендикулярны по условию.

Шаг 1. Вспомним, что средняя линия трапеции равна $m = \frac{AD + BC}{2}$. Есть важное свойство: если диагонали трапеции перпендикулярны, то средняя линия равна отрезку, который соединяет середины обоих оснований. Обозначим эти середины как $M$ (на $AD$) и $N$ (на $BC$). Значит, $MN = m$.

Шаг 2. В равнобедренной трапеции диагонали равны между собой и пересекаются в одной точке. Отрезок $MN$, соединяющий середины оснований, всегда перпендикулярен обоим основаниям — это ось симметрии равнобедренной трапеции. Поэтому $MN$ совпадает с высотой трапеции.

Шаг 3. Из шагов 1 и 2 получаем, что при перпендикулярных диагоналях в равнобедренной трапеции средняя линия численно равна высоте: $m = h$.

Шаг 4. По условию $h = 12$, следовательно, $m = 12$.