Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Трапеция

Обозначим трапецию как ABCD, где AD = 15 — нижнее основание, BC = 9 — верхнее основание. Поскольку трапеция равнобедренная, боковые стороны AB и CD равны, а углы при каждом основании одинаковы.

Отметим, что угол 45° — это острый угол при большем основании (то есть $\angle BAD = 45°$).

Проведём высоту BH из вершины B на основание AD. Эта высота перпендикулярна AD.

В прямоугольном треугольнике ABH:

• угол H прямой (BH — высота)
• угол BAH = 45°
• BH — противолежащий к углу A катет
• AH — прилежащий к углу A катет

Используем определение тангенса: $$\tan(\angle BAD) = \frac{BH}{AH}$$

Отсюда: $$BH = AH \cdot \tan(45°)$$

Теперь найдём AH. Если опустить высоту из C на AD (обозначим точку как H'), то BCHH' образует прямоугольник, поэтому HH' = BC = 9. Поскольку трапеция равнобедренная, отрезки AH и DH' равны: $$AH = DH' = \frac{AD - BC}{2} = \frac{15 - 9}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Подставляем: $$BH = 3 \cdot \tan(45°) = 3 \cdot 1 = 3$$