Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Трапеция

Обозначим равнобедренную трапецию как ABCD, где AD — большее основание, BC — меньшее основание. Пусть из вершины B (тупого угла) опущен перпендикуляр на AD, который пересекает AD в точке E.

По условию перпендикуляр делит большее основание на две части: AE = 10 и ED = 4. Следовательно, $AD = 10 + 4 = 14$.

Так как трапеция равнобедренная, углы при основании равны: $\angle DAB = \angle CDA$. Из вершины C (второго тупого угла) также опустим перпендикуляр на AD в точку F.

В равнобедренной трапеции перпендикуляры из обеих вершин верхнего основания образуют два прямоугольных треугольника, которые конгруэнтны. Поэтому $AF = ED = 4$.

Так как BCFE — прямоугольник (BF и CE — перпендикуляры, BE и CF — части основания), то $BC = EF$.

Из геометрии: $EF = AD - AF - ED = 14 - 4 - 4 = 6$.

Следовательно, $BC = 6$.

Средняя линия трапеции вычисляется по формуле: $$m = \frac{AD + BC}{2} = \frac{14 + 6}{2} = \frac{20}{2} = 10$$