Параллелограммы в задании 1 ЕГЭ: формулы площади и высоты

О чём эта подтема

Задание 1 профильного ЕГЭ по математике — это простая планиметрическая задача, где нужно найти длину отрезка, площадь фигуры, угол или другую числовую характеристику по данным условия. Параллелограммы (включая их частные виды — прямоугольник, ромб, квадрат) — одна из самых частых фигур в этом задании. Задачи решаются в одно-два действия, если знать нужные формулы наизусть и правильно определить, что именно связывает данные величины.

Главная трудность здесь не в сложности вычислений, а в том, чтобы быстро вспомнить подходящую формулу и не перепутать, какая сторона соответствует какой высоте или диагонали. Именно на этом чаще всего теряют баллы.

Что нужно знать

Определение и базовые свойства. Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Свойства, которые пригодятся:

• Противоположные углы равны, соседние — в сумме дают $180^\circ$: если угол при вершине $A$ равен $\alpha$, то угол при соседней вершине $B$ равен $180^\circ - \alpha$.
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
• $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ — это значит, что для вычисления площади не важно, какой из двух смежных углов параллелограмма использовать: синус будет одинаковым.

Формулы площади. Есть три рабочих варианта, и важно уметь выбрать подходящий по данным условия:

1. Через основание и высоту: $$S = a \cdot h_a$$ где $h_a$ — высота, опущенная на сторону $a$.

2. Через две смежные стороны и угол между ними: $$S = a \cdot b \cdot \sin\alpha$$

3. Через диагонали и угол между ними: $$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\varphi$$

Связь высот и сторон. Поскольку площадь одна и та же, но её можно выразить через любую пару «сторона—высота», верно равенство: $$S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$$ Отсюда высоту, опущенную на сторону $a$, всегда можно найти как $$h_a = \frac{S}{a}.$$ Важный практический вывод: чем меньше сторона, тем больше высота, опущенная на неё, и наоборот. Это следует прямо из формулы $h = S/a$: при фиксированной площади высота обратно пропорциональна стороне.

Диагонали параллелограмма. Если известны стороны $a$, $b$ и угол между ними, диагонали находятся по теореме косинусов: $$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha, \qquad d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\alpha$$ а их сумма квадратов даёт удобное тождество: $$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$$

Частные случаи.

• Прямоугольник: все углы $90^\circ$, площадь $S = ab$, диагонали равны и находятся по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2+b^2}$.
• Ромб: все стороны равны, площадь через диагонали $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, диагонали пересекаются под прямым углом.
• Квадрат: сторона $a$, диагональ $d = a\sqrt{2}$, площадь $S = a^2 = \dfrac{d^2}{2}$.

Эта последняя формула — $S = d^2/2$ — часто нужна именно в задании 1, когда дана только диагональ квадрата.

Как решать: метод и алгоритм

Шаг 1. Определить тип фигуры (параллелограмм в общем виде, прямоугольник, ромб или квадрат) — от этого зависит набор доступных формул.

Шаг 2. Выписать все данные: какие стороны, углы, диагонали известны, и что требуется найти.

Шаг 3. Выбрать формулу площади, которая связывает известные величины напрямую. Если дан угол и две стороны — используем $S = ab\sin\alpha$. Если дана только диагональ квадрата — используем $S = d^2/2$. Если даны диагонали и угол между ними — берём формулу через диагонали.

Шаг 4. Если в условии просят высоту, а не площадь, сначала найти площадь через удобную формулу, а затем выразить нужную высоту как $h = S/a$.

Шаг 5. Если нужно найти большую высоту, сначала определить, на какую сторону она опускается: большая высота соответствует меньшей стороне (и наоборот). Это позволяет сразу понять, какую из двух высот считать, не находя обе.

Шаг 6. Проверить ответ на правдоподобность: высота не может быть больше стороны, на которую она не опирается, но не превышает смежную сторону параллелограмма (высота всегда меньше или равна той стороне, к которой она не перпендикулярна, то есть смежной стороне).

Разбор примера

Пример 1. В параллелограмме $ABCD$ известно $AB = 3$, $AD = 21$, $\sin A = \dfrac{6}{7}$. Найдите большую высоту параллелограмма.

Шаг 1. Определяем, что дано: две смежные стороны $AB$ и $AD$ и синус угла между ними $\angle A$. Значит, площадь удобно найти по формуле через стороны и угол: $$S = AB \cdot AD \cdot \sin A$$

Шаг 2. Подставляем числа: $$S = 3 \cdot 21 \cdot \frac{6}{7}$$ Сначала упрощаем $21 \cdot \dfrac{6}{7} = 3 \cdot 6 = 18$ (так как $21/7 = 3$). Затем: $$S = 3 \cdot 18 = 54$$

Шаг 3. В параллелограмме есть две высоты: одна опущена на сторону $AB$, другая — на сторону $AD$. По формуле $h = S/a$ находим обе: $$h_{AD} = \frac{S}{AD} = \frac{54}{21} = \frac{18}{7} \approx 2{,}57$$ $$h_{AB} = \frac{S}{AB} = \frac{54}{3} = 18$$

Шаг 4. Сравниваем: $h_{AB} = 18$ больше, чем $h_{AD} = 18/7$. Значит, большая высота опускается на меньшую сторону $AB = 3$ — это в точности подтверждает правило «меньшая сторона — большая высота».

Ответ: большая высота параллелограмма равна $18$.

Обратите внимание: можно было сразу понять, что искомая большая высота будет опускаться на меньшую из сторон ($AB=3$), и вычислить только $h_{AB} = S/AB$, не находя вторую высоту. Это экономит время на экзамене.

Пример 2. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна $1$.

Шаг 1. Для квадрата со стороной $a$ и диагональю $d$ верно соотношение (по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагональю и двумя сторонами): $$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \quad\Rightarrow\quad a^2 = \frac{d^2}{2}$$

Шаг 2. Площадь квадрата $S = a^2$, поэтому сразу получаем удобную формулу: $$S = \frac{d^2}{2}$$

Шаг 3. Подставляем $d = 1$: $$S = \frac{1^2}{2} = \frac{1}{2} = 0{,}5$$

Ответ: площадь квадрата равна $0{,}5$.

Эта задача показывает, насколько важно помнить формулу $S = d^2/2$ именно для квадрата — она позволяет решить задачу в одно действие, без промежуточного нахождения стороны.

Типичные ошибки

• Путаница между высотами. Часто ученики находят только одну высоту и не проверяют, действительно ли она большая. Нужно чётко помнить: большая высота соответствует меньшей стороне.
• Неверный выбор угла для синуса. В параллелограмме два вида углов (острый и тупой), но их синусы равны, поэтому ошибка обычно не в выборе угла, а в неверном применении косинуса вместо синуса при вычислении площади через стороны.
• Путаница между стороной и диагональю квадрата. Иногда вместо $S = d^2/2$ по ошибке используют $S = d^2$ или считают диагональ как сторону.
• Арифметические ошибки при сокращении дробей. В примере 1 легко ошибиться при умножении $21 \cdot 6/7$, если не сократить дробь заранее.
• Путаница между площадью и периметром. При беглом чтении условия можно перепутать, что именно спрашивают — длину высоты, диагонали или площадь.
• Забывают проверить правдоподобность ответа. Высота параллелограмма не может быть больше самой длинной стороны фигуры; если получилось иначе — где-то ошибка.

На что обратить внимание на экзамене

• Внимательно читайте, какая именно величина требуется: сторона, высота, диагональ или площадь. Ошибка в чтении условия — самая частая причина потери балла в задании 1.
• Держите под рукой (в памяти) три формулы площади параллелограмма и формулы для частных случаев — прямоугольника, ромба и квадрата, чтобы сразу выбрать подходящую без долгих рассуждений.
• Если задача требует «большую» или «меньшую» высоту/сторону, сначала определите логически, какой из двух вариантов подходит, а затем считайте только его — это экономит время.
• Проверяйте вычисления через сокращение дробей до итогового умножения — это снижает риск арифметической ошибки.
• В конце всегда прикидывайте, насколько разумен полученный ответ: сравнивайте высоту со сторонами, диагональ со сторонами и так далее.
• Задание 1 оценивается в один балл, поэтому не стоит тратить на него больше пары минут — как только формула определена, решение обычно занимает 1–2 строки вычислений.