Задача 27829. Параллелограммы

Шаг 1. Найдём сторону ромба.

Периметр ромба равен 200, а у ромба все четыре стороны равны. Поэтому сторона ромба: $$a = \frac{200}{4} = 50$$

Шаг 2. Обозначим половины диагоналей через переменную.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Так как диагонали относятся как $3 : 4$, обозначим половины диагоналей как $3x$ и $4x$.

Шаг 3. Применим теорему Пифагора.

Половины диагоналей и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник: $$(3x)^2 + (4x)^2 = 50^2$$ $$9x^2 + 16x^2 = 2500$$ $$25x^2 = 2500$$ $$x = 10$$

Половины диагоналей: $3 \cdot 10 = 30$ и $4 \cdot 10 = 40$.

Шаг 4. Найдём высоту треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника с катетами 30 и 40: $$S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600$$

Эту же площадь выразим через гипотенузу (сторона ромба 50) и высоту $h$: $$S = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot h$$ $$600 = 25h$$ $$h = 24$$

Шаг 5. Найдём высоту ромба.

Высота ромба — это перпендикуляр между двумя параллельными сторонами. Ромб состоит из двух таких треугольников, поэтому высота ромба: $$H = 2h = 2 \cdot 24 = 48$$