Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Параллелограммы

Обозначим середины сторон параллелограмма ABCD как A', B', C', D' — соответственно середины AB, BC, CD, DA.

Шаг 1. Определение типа фигуры A'B'C'D'

Соединим середины сторон произвольного четырёхугольника. Получившаяся фигура — это параллелограмм Вариньона. Это следует из того, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине.

Шаг 2. Связь между площадями

Разделим параллелограмм ABCD диагоналями AC и BD на четыре треугольника. Каждая вершина нового параллелограмма лежит на стороне исходного, деля её пополам.

При соединении этих середин образуются четыре угловых треугольника, каждый из которых подобен исходному параллелограмму с коэффициентом 1/2 по сторонам. Площадь каждого углового треугольника составляет 1/4 площади соответствующего половинного треугольника исходной фигуры.

Утверждение: сумма площадей четырёх угловых треугольников равна половине площади параллелограмма ABCD.

Шаг 3. Вычисление

Площадь параллелограмма A'B'C'D' равна половине площади ABCD: $$S_{A'B'C'D'} = \frac{1}{2} \cdot S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 153 = 76,5$$