ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Параллелограммы

Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Параллелограммы

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Диагональ прямоугольника вдвое больше одной из его сторон. Найдите больший из углов, который образует диагональ со сторонами прямоугольника? Ответ выразите в градусах.

В подтеме 35 задач
Разбор
Главная идея: Когда диагональ прямоугольника вдвое больше катета прямоугольного треугольника, против этого катета лежит угол 30°, а дополняющий его острый угол равен 60°.

Обозначим прямоугольник ABCD, где диагональ AC образует с его сторонами два острых угла. Диагональ служит гипотенузой прямоугольного треугольника (например, ABC).

Пусть одна из сторон прямоугольника (катет) равна aa, а диагональ по условию равна 2a2a.

В прямоугольном треугольнике ABC найдём угол между диагональю AC и этой стороной. Этот угол лежит при вершине A (угол CAB). Применим отношение в прямоугольном треугольнике:

sin⁡(∠CAB)=BCAC=a2a=12\sin(\angle CAB) = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}

Это означает, что ∠CAB=30°\angle CAB = 30°.

Диагональ образует два угла со сторонами прямоугольника в вершине A: угол с одной стороной равен 30°, с другой стороной равен 90°−30°=60°90° - 30° = 60°.

Больший из этих углов равен 60°.

Типичные ошибки

  • Спутать синус и косинус: неправильно подставить отношение сторон в формулу
  • Забыть, что диагональ образует два разных угла со сторонами, и выбрать меньший угол (30°) вместо большего
  • Не использовать свойство дополняющих углов в прямоугольном треугольнике (сумма острых углов равна 90°)
Непонятно?

Похожие задачи