Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Параллелограммы

Обозначим исходный четырехугольник как ABCD с диагоналями AC = 4 и BD = 5. Пусть K, L, M, N — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

Шаг 1. Рассмотрим треугольник ABC. Точки K и L — середины его сторон AB и BC. По теореме о средней линии треугольника отрезок KL параллелен AC и равен половине AC: $$KL = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$$

Шаг 2. В треугольнике BCD точки L и M — середины сторон BC и CD. Следовательно, средняя линия LM параллельна BD и равна: $$LM = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2,5$$

Шаг 3. В треугольнике ACD точки M и N — середины CD и DA, поэтому: $$MN = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$$

Шаг 4. В треугольнике ABD точки N и K — середины DA и AB, значит: $$NK = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2,5$$

Шаг 5. Четырехугольник KLMN — это параллелограмм (стороны попарно параллельны диагоналям исходного четырехугольника). Его периметр: $$P = KL + LM + MN + NK = 2 + 2,5 + 2 + 2,5 = 9$$