Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Параллелограммы

Обозначим точку пересечения биссектрис как E, и пусть она лежит на стороне AD.

Шаг 1: Используем свойство накрест лежащих углов

При пересечении параллельных прямых AD и BC секущей BE накрест лежащие углы равны: $$\angle CBE = \angle BEA$$

Шаг 2: Применяем определение биссектрисы

Поскольку BE — биссектриса угла ABC: $$\angle ABE = \angle CBE$$

Шаг 3: Находим равенство углов в треугольнике ABE

Из шагов 1 и 2 получаем: $$\angle ABE = \angle BEA$$

Это означает, что треугольник ABE равнобедренный с равными углами при основании AE. Значит, боковые стороны равны: $$AE = AB = 5$$

Шаг 4: Аналогичное рассуждение для второй биссектрисы

Точка E также принадлежит биссектрисе угла ADC. По тому же принципу (накрест лежащие углы и свойство биссектрисы) треугольник DEA равнобедренный: $$DE = DC = 5$$

Шаг 5: Вычисляем большую сторону

Поскольку E лежит на AD: $$AD = AE + DE = 5 + 5 = 10$$

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому BC = 10, а AB = CD = 5. Большая сторона равна 10.