Задача 27826. Параллелограммы

Обозначим вершины параллелограмма как $ABCD$, где $A$ — вершина острого угла, $B$ — вершина тупого угла. Биссектриса тупого угла $B$ пересекает сторону $AD$ в точке $L$.

Шаг 1: Используем свойство равнобедренного треугольника.

Углы $\angle CBL$ и $\angle ALB$ равны как накрест лежащие углы (так как $BC \parallel AD$, а $BL$ — секущая). Биссектриса угла $B$ делит угол пополам, поэтому $\angle ABL = \angle CBL$. Из этого следует, что $\angle ABL = \angle ALB$, значит, треугольник $ABL$ равнобедренный с $AB = AL$.

Шаг 2: Выражаем стороны через параметр.

По условию биссектриса делит $AD$ в отношении $4:3$ от вершины острого угла $A$. Значит, $AL : LD = 4 : 3$.

Пусть $AL = 4x$, тогда $LD = 3x$ и $AD = 7x$.

Так как $AB = AL$ (из равнобедренного треугольника), имеем $AB = 4x$.

Шаг 3: Используем свойство параллелограмма.

В параллелограмме противоположные стороны равны: $BC = AD = 7x$ и $CD = AB = 4x$.

Шаг 4: Находим $x$ из периметра.

Периметр: $P = 2(AB + AD) = 2(4x + 7x) = 22x = 88$.

Отсюда $x = 4$.

Шаг 5: Находим большую сторону.

$AD = 7x = 7 \cdot 4 = 28$ — это большая сторона параллелограмма.

$AB = 4x = 16$ — это меньшая сторона.