ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Решение равнобедренного треугольника

Задача 27324. Решение равнобедренного треугольника

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 11.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла5.1.1 Треугольник

В треугольнике ABC AC  =  BC, AB  =  7, тангенс BAC = дробь: числитель: 4 корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 33 конец дроби . Найдите высоту AH.

В подтеме 51 задач
Разбор
Главная идея: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому tan⁡\tan одного угла при основании определяет синус угла при вершине (противолежащей основанию), который нужен для вычисления высоты через формулу AH=ABsin⁡ABCAH = AB \sin ABC.

Треугольник ABC равнобедренный с AC = BC, поэтому углы при основании равны: ∠BAC=∠ABC\angle BAC = \angle ABC.

Дано, что tan⁡BAC=43333\tan BAC = \frac{4\sqrt{33}}{33}. Найдём котангенс этого угла: cot⁡BAC=1tan⁡BAC=33433=33433⋅3333=33334⋅33=334\cot BAC = \frac{1}{\tan BAC} = \frac{33}{4\sqrt{33}} = \frac{33}{4\sqrt{33}} \cdot \frac{\sqrt{33}}{\sqrt{33}} = \frac{33\sqrt{33}}{4 \cdot 33} = \frac{\sqrt{33}}{4}

Так как ∠ABC=∠BAC\angle ABC = \angle BAC, имеем cot⁡ABC=334\cot ABC = \frac{\sqrt{33}}{4}.

Высота AH проходит из вершины A к стороне BC. В прямоугольном треугольнике ABH угол ABH = ∠ABC\angle ABC, поэтому: AH=AB⋅sin⁡ABCAH = AB \cdot \sin ABC

Используем формулу связи синуса и котангенса: sin⁡ABC=11+cot⁡2ABC\sin ABC = \sqrt{\frac{1}{1 + \cot^2 ABC}}

Вычислим: 1+cot⁡2ABC=1+(334)2=1+3316=16+3316=49161 + \cot^2 ABC = 1 + \left(\frac{\sqrt{33}}{4}\right)^2 = 1 + \frac{33}{16} = \frac{16 + 33}{16} = \frac{49}{16}

Тогда: sin⁡ABC=14916=1649=47\sin ABC = \sqrt{\frac{1}{\frac{49}{16}}} = \sqrt{\frac{16}{49}} = \frac{4}{7}

Наконец: AH=AB⋅sin⁡ABC=7⋅47=4AH = AB \cdot \sin ABC = 7 \cdot \frac{4}{7} = 4

Типичные ошибки

  • Путаница с углами: забывают, что в равнобедренном треугольнике ∠BAC=∠ABC\angle BAC = \angle ABC, а не равны другие углы.
  • Ошибка в формуле связи синуса и котангенса: некорректное применение формулы sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2 + \cos^2 = 1 без преобразования к котангенсу.
  • Неправильный выбор прямоугольного треугольника: могут спутать, в каком треугольнике нужно искать синус угла для высоты.

Ещё задачи этой подтемы