ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Решение равнобедренного треугольника

Задача 27350. Решение равнобедренного треугольника

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 11.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла5.1.1 Треугольник

В тупоугольном треугольнике ABC AC = BC = корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , AH  — высота, CH  =  4. Найдите тангенс ACB.

В подтеме 51 задач
Разбор
Главная идея: Высота в тупоугольном треугольнике падает за пределы основания; угол при C дополнительный к острому углу в прямоугольном треугольнике ACH, отсюда минус перед тангенсом.

Поскольку треугольник тупоугольный и AC = BC, он равнобедренный. Высота AH опущена из вершины A на прямую, содержащую сторону BC. Так как угол C тупой, высота AH падает за пределы отрезка BC, то есть точка H лежит на продолжении BC за точку C.

В прямоугольном треугольнике ACH применим теорему Пифагора, чтобы найти высоту AH: AH=AC2−CH2=17−16=1=1AH = \sqrt{AC^2 - CH^2} = \sqrt{17 - 16} = \sqrt{1} = 1

Угол ACB тупой, поэтому он дополняет острый угол ACH до 180°: ∠ACB=180°−∠ACH\angle ACB = 180° - \angle ACH

Используем свойство тангенса дополнительного угла: tan⁡(∠ACB)=tan⁡(180°−∠ACH)=−tan⁡(∠ACH)\tan(\angle ACB) = \tan(180° - \angle ACH) = -\tan(\angle ACH)

В прямоугольном треугольнике ACH с прямым углом при H: tan⁡(∠ACH)=AHCH=14\tan(\angle ACH) = \frac{AH}{CH} = \frac{1}{4}

Следовательно: tan⁡(∠ACB)=−14=−0,25\tan(\angle ACB) = -\frac{1}{4} = -0,25

Типичные ошибки

  • Забыли, что в тупоугольном треугольнике высота может лежать вне треугольника, и неправильно определили положение точки H
  • Применили формулу Пифагора неверно или ошиблись в вычислении: 17 − 16 = 1
  • Забыли о формуле тан(180° − α) = −тан α и написали положительное значение вместо отрицательного

Ещё задачи этой подтемы