ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Решение равнобедренного треугольника

Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Решение равнобедренного треугольника

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 11.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла5.1.1 Треугольник

В тупоугольном треугольнике ABC AC  =  BC, высота AH равна 7, CH  =  24. Найдите синус ACB.

В подтеме 51 задач
Разбор
Главная идея: В тупоугольном равнобедренном треугольнике высота из одной боковой стороны попадает на продолжение основания; синус тупого угла равен синусу дополнительного острого угла в прямоугольном треугольнике, образованном высотой.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный с AC = BC, высота AH опущена из вершины A на сторону BC (или её продолжение).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH, где угол AHC = 90°. Известны AH = 7 и CH = 24.

Найдём гипотенузу AC по теореме Пифагора: AC=AH2+HC2=49+576=625=25AC = \sqrt{AH^2 + HC^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25

В треугольнике ACH синус угла ACH равен: sin⁡(∠ACH)=AHAC=725\sin(\angle ACH) = \frac{AH}{AC} = \frac{7}{25}

Теперь нужно связать ∠ACH\angle ACH с искомым углом ∠ACB\angle ACB. Поскольку треугольник тупоугольный и AC = BC, тупой угол находится при вершине C. Это означает, что H лежит на продолжении стороны BC за точку C (или между B и C, но угол ACB тупой).

Если H находится на луче CB за точкой C, то углы ACH и ACB дополнительны: ∠ACB=180°−∠ACH\angle ACB = 180° - \angle ACH

Поэтому: sin⁡(∠ACB)=sin⁡(180°−∠ACH)=sin⁡(∠ACH)=725=0,28\sin(\angle ACB) = \sin(180° - \angle ACH) = \sin(\angle ACH) = \frac{7}{25} = 0,28

Типичные ошибки

  • Забыли, что синус дополнительных углов (α и 180° − α) равны — не найдут связь между углами ACH и ACB
  • Ошибка в применении теоремы Пифагора: неправильный расчёт AC или смешивание сторон треугольника
  • Неправильное определение расположения точки H — не учли, что треугольник тупоугольный и H лежит вне отрезка BC
Непонятно?

Похожие задачи