ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Решение равнобедренного треугольника

Задача 27345. Решение равнобедренного треугольника

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 11.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла5.1.1 Треугольник

В тупоугольном треугольнике ABC AC  =  BC  =  8, высота AH равна 4. Найдите синус ACB.

В подтеме 51 задач
Разбор
Главная идея: В прямоугольном треугольнике ACH синус угла C равен отношению противолежащего катета AH к гипотенузе AC; это значение остаётся неизменным для угла ACB исходного треугольника.

Треугольник ABC равнобедренный с AC = BC = 8. Высота AH опущена из вершины A на прямую, содержащую сторону BC (так как угол C тупой, высота падает на продолжение BC за точку C).

Шаг 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH, где H — основание высоты.

В этом треугольнике:

  • AC = 8 (гипотенуза)
  • AH = 4 (высота)
  • угол AHC = 90°

Шаг 2. Найдём синус угла ACH: sin⁡∠ACH=AHAC=48=12\sin \angle ACH = \frac{AH}{AC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

Это отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

Шаг 3. Углы ACB и ACH — это один и тот же угол (или смежные углы в зависимости от расположения H). Поскольку синусы смежных углов равны, имеем: sin⁡∠ACB=sin⁡∠ACH=12\sin \angle ACB = \sin \angle ACH = \frac{1}{2}

Типичные ошибки

  • Забыли, что в тупоугольном треугольнике высота падает на продолжение стороны, а не на саму сторону
  • Спутали синус с косинусом и вычислили cos⁡∠ACB\cos \angle ACB вместо sin⁡∠ACB\sin \angle ACB
  • Забыли, что синусы смежных углов равны, и пытались использовать другие тригонометрические соотношения

Ещё задачи этой подтемы