ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Решение равнобедренного треугольника

Задача 27347. Решение равнобедренного треугольника

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 11.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла5.1.1 Треугольник

В тупоугольном треугольнике ABC AC = BC = 4 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , высота AH равна 4. Найдите тангенс ACB.

В подтеме 51 задач
Разбор
Главная идея: В тупоугольном треугольнике высота из острого угла падает на продолжение противолежащей стороны; углы ACB и ACH — смежные, поэтому их тангенсы противоположны по знаку.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный с AC = BC, он симметричен относительно высоты из вершины C. Высота AH опущена из вершины A на продолжение стороны BC (так как угол C тупой), поэтому точка H лежит вне отрезка BC.

Шаг 1. Найдём HC по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AHC: HC=AC2−AH2=(45)2−42=80−16=64=8HC = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{(4\sqrt{5})^2 - 4^2} = \sqrt{80 - 16} = \sqrt{64} = 8

Шаг 2. В треугольнике AHC угол H прямой (AH — высота). Угол ACH — это часть тупого угла ACB. Поскольку H находится на продолжении BC за точку C, углы ACB и ACH дополняют друг друга до 180°: ∠ACB=180°−∠ACH\angle ACB = 180° - \angle ACH

Шаг 3. Применим формулу приведения для тангенса смежных углов: tan⁡(∠ACB)=tan⁡(180°−∠ACH)=−tan⁡(∠ACH)\tan(\angle ACB) = \tan(180° - \angle ACH) = -\tan(\angle ACH)

Шаг 4. В прямоугольном треугольнике AHC тангенс острого угла ACH равен отношению противолежащего катета к прилежащему: tan⁡(∠ACH)=AHHC=48=0,5\tan(\angle ACH) = \frac{AH}{HC} = \frac{4}{8} = 0,5

Шаг 5. Подставим: tan⁡(∠ACB)=−0,5\tan(\angle ACB) = -0,5

Типичные ошибки

  • Забывают, что угол C тупой, и считают H на стороне BC, а не на её продолжении
  • Не применяют формулу приведения и ошибочно берут положительное значение тангенса вместо отрицательного
  • Путают, какой катет к какому относится в определении тангенса, подставляя HC/AH вместо AH/HC

Ещё задачи этой подтемы