Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Решение равнобедренного треугольника

Треугольник ABC равнобедренный с AC = BC = 25, высота AH = 20.

Шаг 1. Определим положение высоты. Поскольку треугольник тупоугольный и AC = BC, угол ACB — тупой. Высота, проведённая из вершины A к противоположной стороне, падает на продолжение стороны BC за точку C (это свойство высоты в тупоугольном треугольнике).

Шаг 2. Найдём HC из прямоугольного треугольника AHC. Высота AH перпендикулярна линии, содержащей BC, поэтому треугольник AHC — прямоугольный с прямым углом в H.

По теореме Пифагора: $$AH^2 + HC^2 = AC^2$$ $$20^2 + HC^2 = 25^2$$ $$400 + HC^2 = 625$$ $$HC^2 = 225$$ $$HC = 15$$

Шаг 3. Найдём косинус угла ACB. В треугольнике AHC угол ACH связан с углом ACB: они смежные (H лежит на продолжении BC за C), поэтому: $$\cos(\angle ACH) = \frac{HC}{AC} = \frac{15}{25} = 0,6$$

Угла ACB и угла ACH — смежные, их косинусы противоположны: $$\cos(\angle ACB) = -\cos(\angle ACH) = -0,6$$