Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Решение равнобедренного треугольника

Проведём высоту из вершины C на сторону AB, обозначим точку пересечения H. Поскольку треугольник равнобедренный (AC = BC = 21), высота CH является и медианой, поэтому AH = HB.

Обозначим AH = x. Тогда AB = 2x.

В прямоугольном треугольнике ACH угол A — это угол исходного треугольника. По определению тангенса: $$\tan \angle A = \frac{CH}{AH} = \frac{CH}{x} = 2\sqrt{2}$$

Отсюда: $$CH = 2\sqrt{2} \cdot x$$

Применим теорему Пифагора к треугольнику ACH. Гипотенуза AC = 21, катеты CH и AH: $$CH^2 + AH^2 = AC^2$$ $$(2\sqrt{2}x)^2 + x^2 = 21^2$$ $$8x^2 + x^2 = 441$$ $$9x^2 = 441$$ $$x^2 = 49$$ $$x = 7$$

Следовательно: $$AB = 2x = 2 \cdot 7 = 14$$